归并排序算法的编码和优化

在大型公司的面试过程中，排序是必问的知识。本篇内容来自《算法（第4版）》 — — Robert Sedgewick， Kevin Wayne

概念

归并排序的实现我是这样来描述的：先对少数几个元素通过两两合并的方式进行排序，形成一个长度稍大一些的有序序列。然后在此基础上，对两个长度稍大一些的有序序列再进行两两合并，形成一个长度更大的有序序列，有序序列的的长度不断增长，直到覆盖整个数组的大小为止，归并排序就完成了。

递归和循环

归并排序有两种实现方式： 基于递归的归并排序和基于循环的归并排序。（也叫自顶向下的归并排序和自底向上的归并排序）

这两种归并算法虽然实现方式不同，但还是有共同之处的：

1. 无论是基于递归还是循环的归并排序， 它们调用的核心方法都是相同的：完成一趟合并的算法，即两个已经有序的数组序列合并成一个更大的有序数组序列 （前提是两个原序列都是有序的！）
2. 从排序轨迹上看，合并序列的长度都是从小（一个元素）到大（整个数组）增长的。

单趟归并算法

单趟排序的实现分析

下面我先介绍两种不同归并算法调用的公共方法， 即完成单趟归并的算法。（两个已经有序的数组序列合并成一个更大的有序数组序列）

在开始排序前创建有一个和原数组a长度相同的空的辅助数组aux

单趟归并的过程如下：

1. 首先将原数组中的待排序序列拷贝进辅助数组的相同位置中，即将a[low…high]拷贝进aux[low…high]中
2. 辅助数组aux的任务有两项：比较元素大小， 并在aux中逐个取得有序的元素放入原数组a中 （通过1使aux和a在low-high的位置是完全相同的！这是实现的基础）
3. 因为aux[low…high]由两段有序的序列：aux[low…mid]和aux[mid…high]组成， 这里称之为aux1和aux2,我们要做的就是从aux1和aux2的头部元素开始，比较双方元素的大小。将较小的元素放入原数组a中（若a[0]已被占则放在a[1]…依次类推），并取得较小元素的下一个元素， 和另一个序列中较大的元素比较。因为前提是aux1和aux2都是有序的，所以通过这种方法我们能得到更长的有序序列
4. 如果aux的两段序列中，其中一段中的所有元素都已”比较”完了, 取得另一段序列中剩下的元素，全部放入原数组a的剩余位置。

过程3和4的实现方法

• 设置两个游标 i 和 j 用于“元素比较” （在aux中进行）：变量,i 和 j，分别代表左游标和右游标，开始时分别指向aux[low]和aux[mid]
• 设置游标k用于确定在a中放置元素的位置（在a中进行），k在开始时候指向a[low]
• 总体上来说i, j, k的趋势都是向右移动的

结合上面的过程3， 比较 i 和 j 当前所指的aux中的元素的大小， 取得其中比较大的那个元素（例如上图中的i）,将其放入数组a中， 此时（在图中假设情况下）： i加1，左游标右移。 同时k也加1， k游标也向右移动。

结合上面的过程4， 在 i 和 j 都向右移动的过程中， 在图中假设情况下，因为j当前所指的元素（图中位置）大于左半边即a[low…mid]的所有元素，导致 i 不断增加（右移）且越过了边界（mid）, 所以这时候就不需要比较了，只要把j当前所指位置到high的元素都搬到原数组中，填满原数组中剩下的位置， 单趟归并就完成了， 在这一段过程中 j 连续加1，右游标连续右移。 同时k也连续加1， k游标也连续右移， 直到 j == high且k == high为止

基于上面的表述， 总结出单趟归并算法中最关键的4个条件判断情形：

• 左半边用尽（取右半边的元素）
• 右半边用尽（取左半边的元素）
• 右半边元素小于左半边当前元素（取右半边的元素）
• 右半边元素大于等于左半边当前元素（取左半边的元素）

单趟排序算法的代码

有了上面的解释，代码实现就不难了。

单趟排序的过程图解

为了更详细的描述单趟排序的过程，下面在上面的图A和图B的基础上给出每一步的图解：

我们要排序的序列是 2 4 5 9 1 3 6 7， 合并的前提是2 4 5 9 和 1 3 6 7都是有序的。 先比较aux中2和1的大小，因为2>1，所以将1放入a[0]。这时， 游标 i 不动， 游标 j 右移， 游标 k 右移。

比较aux中2和3的大小，因为2<3，所以将2放入a[1]。这时， 游标 j 不动， 游标 i 右移， 游标 k 右移。

比较aux中4和3的大小，因为3<4，所以将3放入a[2]。这时， 游标 i 不动， 游标 j 右移， 游标 k 右移。

注意， 这这里 j 增加导致 j> high, 现在的情形是“右半边用尽”， 所以将aux左半边剩余的元素9放入a剩下的部分a[7]中， 单趟排序完成。

注：上面这个例子中的序列只是数组的一部分， 并不一定是整个数组。

递归方式的归并排序

基于递归的归并排序又叫做自顶向下的归并排序。

递归归并的思想

最关键的是sort(int a [], int low,int high)方法里面的三行代码：

sort(a,low,mid);
sort(a,mid+1,high);
merge(a,low,mid,high);

分别表示对左半边序列递归、对右半边序列递归、单趟合并操作。代码实现如下：

接下来，测试下代码：

运行结果为：

递归栈深度和调用顺序

递归导致的结果是，形成了一系列有层次、有先后调用顺序的merge, 如下图左边的写入编号的merge列表。

从上到下，是各个merge的先后调用顺序，1最先调用， 15最后调用。

从右到左， 递归栈由深到浅，例如 1,2,4,5的递归深度是相同的， 而3比它们浅一个层次。

对上图可根据代码来理解。

首先，在第一层递归的时候，先进入的是第一行的sort方法里（A处），然后紧接着又进入了第二层递归的第一行sort方法（A处）， 如此继续，由(a, low,mid)的参数列表可知其递归的趋势是一直向左移动的，直到最后一层递归，所以最先执行merge的对象是a[0]和a[1]（上图编号1），再然后执行的是最后一层递归的第二行代码（B处），这时候merge的对象是a[2]和a[3]（上图编号2）。 再然后， 返回上一层递归，对已经有序的a[0]、a[1]和a[2]、a[3]进行merge。（上图编号3）如此继续，递归的深度不断变浅， 直到对整个数组的左右两半进行merge。 （上图编号3）

递归归并的轨迹图像

（下面展示的归并进行了一些优化，对小数组使用插入排序）

根据上文所讲的递归栈和调用顺序， 下面的轨迹图像就不难理解了： 从最左边的元素开始合并，而且左边的数组序列在第一轮合并后，相邻右边的数组按同样的轨迹进行合并， 直到合并出和左边相同长度的序列后，才和左边合并（递归栈上升一层）。

递归归并排序优化

优化点一：对小规模子数组使用插入排序

用不同的方法处理小规模问题能改进大多数递归算法的性能，因为递归会使小规模问题中方法调用太过频繁，所以改进对它们的处理方法就能改进整个算法。因为插入排序非常简单， 因此一般来说在小数组上比归并排序更快。 这种优化能使归并排序的运行时间缩短10%到15%； 可以将下面的代码

改为

这样的话，这条语句就具有了两个功能： 1. 在适当时候终止递归

1. 当数组长度小于M的时候（high-low <= M）， 不进行归并排序，而进行插排

优化点二: 测试待排序序列中左右半边是否已有序

通过测试待排序序列中左右半边是否已经有序， 在有序的情况下避免合并方法的调用。 例如对单趟合并，我们对a[low…high]中的a[low…mid]和a[mid…high]进行合并。因为a[low…mid]和a[mid…high]本来就是有序的，存在a[low]

优化点三：去除原数组序列到辅助数组的拷贝

在上面介绍的基于递归的归并排序的代码中， 我们在每次调用merge方法时候，我们都把a对应的序列拷贝到辅助数组aux中来，即：

实际上，我们可以通过一种看起来比较逆天的方式把这个拷贝过程给去除掉。。。。。

为了达到这一点，我们要在递归调用的每个层次交换输入数组和输出数组的角色，从而不断地把输入数组排序到辅助数组，再将数据从辅助数组排序到输入数组。

在排序前拷贝一个和原数组元素完全一样的辅助数组（不再是创建一个空数组了！）。 在递归调用的每个层次交换输入数组和输出数组的角色。

注意：外部的sort方法和内部sort方法接收的a和aux参数刚好是相反的。

这样做的话， 我们就可以去除原数组序列到辅助数组的拷贝了！但是读者可能会有疑问：我们要排序的可是原数组a啊！ 你不怕一不小心最后完全排序的是辅助数组aux而不是原数组a吗？

由图示易知， 因为外部sort和merge的参数顺序是相同的， 所以，无论递归过程中辅助数组和原数组的角色如何替换，对最后一次调用的merge而言（将整个数组左右半边合为有序的操作）， 最终被排为有序的都是原数组，而不是辅助数组！

循环方式的归并排序（自底向上）

基于循环的归并排序又叫做自底向上的归并排序。

循环归并的轨迹图像