无偏估计

定义

无偏估计：估计量的均值等于真实值，即具体每一次估计值可能大于真实值，也可能小于真实值，而不能总是大于或小于真实值（这就产生了系统误差）。

估计量评价的标准

（1）无偏性 如上述

（2）有效性 有效性是指估计量与总体参数的离散程度。如果两个估计量都是无偏的，那么离散程度较小的估计量相对而言是较为有效的。即虽然每次估计都会大于或小于真实值，但是偏离的程度都更小的估计更优。

（3）一致性 又称相合性，是指随着样本容量的增大，估计量愈来愈接近总体参数的真值。

为什么方差的分母是n-1?

结论： 首先这个问题本身概念混淆了。

如果已知全部的数据，那么均值和方差可以直接求出。但是对一个随机变量X，需要估计它的均值和方差，此时才用分母为n-1的公式来估计他的方差，因此分母是n-1才能使对方差的估计（而不是方差）是无偏的。

因此，这个问题应该改为，为什么随机变量的方差的估计的分母是n-1?

如果我们已经知道了全部的数据，那就可以求出均值μ，σ，此时就是常规的分母为n的公式直接求，但这并不是估计！

现在，对于一个随机变量X，我们要去估计它的期望和方差。

期望的估计就是样本的均值\(\overline{X}\)

现在，在估计的X的方差的时候，如果我们预先知道真实的期望μ，那么根据方差的定义：

\[E[(X_i-μ)^2]=\frac{1}{n}\sum_i^n{(X_i-μ)^2}=σ^2\]

这时分母为n的估计是正确的，就是无偏估计！

但是，在实际估计随机变量X的方差的时候，我们是不知道它的真实期望的，而是用期望的估计值\(\overline{X}\)去估计方差，那么：

由上式可知，只有除非\(\overline{X}=μ\),否则必有

\[ \frac{1}{n}\sum_i^n(X_i-\overline{X})^2 < \frac{1}{n} \sum_i^n(X_i-μ)^2 \]

上面不等式中的右边才算是方差的"正确估计"！

这也就说明了为什么不能使用\(frac{1}{n}\)

所以把分母从n换成n-1,就是把对方差的估计稍微放大一点点。至于为什么是n-1,而不是n-2,n-3,...,有严格的数学证明。

无偏估计虽然在数学上更好，但是并不总是“最好”的估计，在实际中经常会使用具有其它重要性质的有偏估计。

原文链接:无偏估计

MARSGGBO♥原创 2018-8-4