Applicative 函子

Applicative 定律

Application 函子是一种加强的函子，在 Haskell 的 Control.Applicative 模块中定义了一个 Applicative 类型类：

class Functor f => Applicative (f :: * -> *) where
  pure :: a -> f a
  (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

同普通函子一样，一个类型构造器要成为 Applicative 的实例的话，它的 kind 必须是* -> *，即接受一个参数，返回一个具体类型。要成为 Applicative 类型类的实例，还必须定义两个函数，pure 和 <*>。从这个定义来看，似乎只要是满足了以上几个条件的类型就可以称为 applicative 函子，事实上并非如此，要成为 applicative 函子还需要满足一条最重要的定律：

pure f <*> x = fmap f x

applicative 函子的用途很明确，就是为了取出第一个函子值中的函数，应用到第二个函子值的值上，上述定律基本可以保证<*>只是做了这件事，当然其他还有一些定律，就不细说了，列在这里大家看看就好：

pure id <*> v = v
pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)
pure f <*> pure x = pure (f x)
u <*> pure y = pure ($ y) <*> u

作为 applicative 的函数

我们知道函数可以作为函子，其实函数也可以作为 applicative：

instance Applicative ((->) r) where
  pure x = (\_ -> x)
  f <*> g = \x -> f x (g x)

这个可能稍微难理解一些，pure 取一个值，产生一个最小上下文，组合成一个 applicative 值，所以产生了一个忽略参数永远返回初始值（pure 的参数）的函数。至于<*>的话，先考虑函数作为普通函子的情况，我们知道函子值是一个包涵上下文的值，当函数作为函子值时，从这个上下文中取值的操作就是将一个参数传递给该函数，然后产生一个值，所以函数作为Functor类型类的实例时是这样的（这种情况下 fmap 其实就是函数组合.）：

instance Functor ((->) r) where
  fmap f g = (\x -> f (g x))

我在函子定律中提到过，fmap 接收一个函数和一个函子值，取出函子值中的值传递给函数，然后返回一个函子值。当函数作为函子值时，fmap 还是返回一个函数（这里用 lambda 表示）。g 是函子值，我们要取出它的值，所以给它传递一个参数 x，然后将得到的值作为参数传递给 f，最后将得到的值包裹到 lambda 中（其实整个过程都是在 lambda 中，x 是 lambda 的参数）。那<*>也同理，它接收两个函子值，返回一个函子值，当函数作为函子值时，要先分别取出 f 中的值（函数）和 g 中的值，分别将一个参数 x 传递给它们，再将 g x 作为参数传递给 f x（由于 Haskell 自动柯里化的性质，f x 还是一个函数），最后将结果包裹到 lambda 中。

当然，将((->) r)作为 applicative 使用不是特别重要，但大家要理解并非只有容器或者某种数据结构才能作为函子。