数据结构与算法 - 时间复杂度与空间复杂度

通常，对于一个给定的算法，我们首先要验证算法的正确性，
其次主要从算法的执行时间和所需要占用的存储空间两个方面衡量一个算法的优劣。

int sum = 0, n = 100;       /*执行一次*/
sum = (1 + n) * n / 2;      /*执行一次*/
printf("%d",sum);           /*执行一次*/

执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。
对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，
不会随着n 的变大而发生变化，所以单纯的分支结构(不包含在循环结构中)，其时间复杂度也是0(1)。

int i;      
for(i = 0; i < n; i++){
    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。
因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
上面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)， 因为循环体中的代码须要执行n次。

int count = 1;      
while (count < n){
   count = count * 2;
  /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
 由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。 也就是说，有多少个2相乘后大于n，
 则会退出循环。 由2^x=n 得到x=logn。 所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。

int i, j;      
for(i = 0; i < n; i++){
    for(j = 0; j < n; j++){
        /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
    }
}
而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。 所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。
如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(mXn)。 
所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

下面例子是一个三重循环嵌套。

int i, j;      
for(i = 1; i < n; i++)
    for(j = 1; j < n; j++)
        for(j = 1; j < n; j++){
            /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
 
        }

这里循环了(1^2+2^2+3^2+……+n^2) = n(n+1)(2n+1)/6次，按照上述大O阶推导方法，时间复杂度为O(n^3)。

long aFunc(int n) {
    if (n <= 1) {
        return 1;
    } else {
        return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2);
    }
}
显然运行次数，T(0) = T(1) = 1，同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，这里的 1 是其中的加法算一次执行。
显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列，通过归纳证明法可以证明，当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n，
同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。
所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n)，简化后为 O(2^n)。

  常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!)

比如说，要判断某某年是不是闰年，
你可能会花一点心思写了一个算法，而且由于是一个算法，也就意味着，每次给一个年份，
都是要通过计算得到是否是闰年的结果。 还有另一个办法就是，
事先建立一个有2050个元素的数组(年数略比现实多一点)，然后把所有的年份按下标的数字对应，
如果是闰年，此数组项的值就是1，如果不是值为0。这样，所谓的判断某一年是否是闰年，
就变成了查找这个数组的某一项的值是多少的问题。此时，我们的运算是最小化了，
但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。
这是通过一笔空间上的开销来换取计算时间的小技巧。到底哪一个好，其实要看你用在什么地方。

 算法的输入输出数据所占用的存储空间是由要解决的问题决定的，
 是通过参数表由调用函数传递而来的，它不随本算法的不同而改变。

 存储算法本身所占用的存储空间与算法书写的长短成正比，要压缩这方面的存储空间，就必须编写出较短的算法。

  算法在运行过程中临时占用的存储空间随算法的不同而异，有的算法只需要占用少量的临时工作单元，
  而且不随问题规模的大小而改变，我们称这种算法是“就地\"进行的，是节省存储的算法；
  有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，
  当n较大时，将占用较多的存储单元。

二分查找时，每次都在原有查找内容进行二分，所以时间复杂度为O（log2 n） 
因为变量值创建一次，所以空间复杂度为O（1）

时间复杂度为O（log2 n） 
每进行一次递归都会创建变量，所以空间复杂度为O（log2 n）

时间复杂度O（n) 
空间复杂度为O（1）

时间复杂度为O（2^n） 
空间复杂度为O（n）