博弈论笔记--03--迭代剔除和中位选民定理

1. 迭代剔除策略:先站在所有人的角度，删除所有的劣势策略，然后重复这个过程。
2. Game One–中间选民定理的例子 博弈者：2个Players需要选择自己的政治立场。 策略选项：一共有1-10种政治立场，每种都有10%的选民支持。 收益:候选者要最大化取得选票，他们需要胜利。 1代表极端左派(保守)，10代表极端右派(激进) 这些选民最终会选择最接近他们的候选人进行投票。 这个博弈不会出现平局。 分析： 这里存在一个劣势策略，那就是选择立场1。 选择了立场1，收益没有其他立场收益高。 比如： V1 uiuiu_i(1,1) = 50%,uiuiu_i(2,1) = 90% V2 uiuiu_i(1,2) = 10%,uiuiu_i(2,2) = 50% V3 uiuiu_i(1,3) = 15%,uiuiu_i(2,3) = 20% V4 uiuiu_i(1,4) = 20%,uiuiu_i(2,4) = 25% ………… 同理可以得到另一个劣势策略，那就是选择立场10 结论：此时立场2严格优于1，立场9严格优于10 以此类推，迭代删除最终会得到的优势策略为立场5和立场6. 这个模型在政治学中叫做”中间选民定理” 预测了候选人将会向中间立场靠拢。 缺陷: 1.现实中有多名候选人，不只是两名 2.候选人的立场可能不坚定，不能承诺政策实施 3选择候选人的时侯是包含其他维度(条件)的，比如选民喜好等 4.选民的投票不是均匀分布的(但是实际不影响结果) 5.选民可能会弃权 Conclusion: 模型都是抽象的
3. 对于上面的例子是否立场3严格优于立场2？ 由于U1(2,1)=90% < U1(3,1)=85% 所以立场3不严格优于立场2 但是当我们已经明确候选人已经不会选择立场1和立场10这两个严格劣势策略的时候， 立场3才严格优于立场2。 这里只是相当与去掉了立场1和立场10，但是选票和选民依然存在。 V2 uiuiu_i(2,2) = 50%, uiuiu_i(3,2) = 80% V3 uiuiu_i(2,3) = 20%, uiuiu_i(3,3) = 50% V4 uiuiu_i(2,4) = 25%, uiuiu_i(3,4) = 30% V5 uiuiu_i(2,5) = 30%, uiuiu_i(3,5) = 35% V6 uiuiu_i(2,6) = 35% ,uiuiu_i(3,6) = 40% V7 uiuiu_i(2,7) = 40% ,uiuiu_i(3,7) = 45% V8 uiuiu_i(2,8) = 45%, uiuiu_i(3,8) = 50% V9 uiuiu_i(2,9) = 50% ,uiuiu_i(3,9) = 55% …………
4. A different approach :Best Response Game Two–Player1会选择上中下，Player2可以选择左右， 收益如下：

如果是Player1,他的BR(Best Response)？ 选择”上”是对应Player2选择”左”的最佳选择 选择”中”是对应Player2选择”右”的最佳选择 当对手选择左右的概率相等的时候，此时最好的选择是下。 Ui(u)=0.5*5+5*0=2.5收益 Ui(M)=1*0.5+4*0.5=2.5收益 Ui(D)=0.5*4+0.5*2=3收益 但是情况可能不一样，比如Player2选择左右的概率为pos1,pos2时就需要重新计算。 假设Player2选择右的概率为PxPxP_x,收益如下： u(U,L)u(U,L)u(U,L) = (1−Px)(1−Px)(1-P_x)* 5 + 0 * PxPxP_x= 5*PxPxP_x u(D,L)u(D,L)u(D,L) = (1−Px)(1−Px)(1-P_x) * 1 + 4 * PxPxP_x = 4 - 3 * PxPxP_x u(M,L)u(M,L)u(M,L) = (1−Px)(1−Px)(1-P_x)* 4 + 2 * PxPxP_x = 2 + 2 * PxPxP_x 所以画图表示如下： 其中P1P1P_1=u(U,L)u(U,L)u(U,L),P2P2P_2=u(D,L)u(D,L)u(D,L) ,P3P3P_3=u(M,L)u(M,L)u(M,L),横坐标表示Player2选择左的概率。

如果认为对方选择右(R)的概率小于x的话，BR=U，相对的，如果概率大于y时， BR=M，如果概率落在xxx~yyy之间，则BR=D。 联立三个直线方程，可以求得 x=1/3x=1/3x=1/3,y=2/3y=2/3y=2/3