线性代数--MIT18.06(十九)

19. 行列式公式和代数余子式

19.1 课程内容：行列式公式和代数余子式

在上一讲我们介绍了行列式的性质，知道了行列式的性质，我们自然想知道如何求解行列式，首先回顾下行列式的三个基本性质

• 单位阵的行列式为 1
• 交换矩阵的行，行列式的值变号
• 行列式的行是线性的

■ 行列式的计算公式

接下来我们就将利用行列式的三个基本性质，来推导出行列式的计算公式。

还是从二阶方阵开始，基于行列式的行是线性的，我们可以得到如下的分解

注意到我们使用行列式的行具有线性的性质，我们可以将原求解行列式拆解为多个行列式的值求解。

继续推广到 3 阶观察一下结果。

将上述 2 阶的情况，也写成现在 3 阶的形式的话，我们得到

可以发现，我们对

阶的行列式进行展开，最终就得到

个行列式，这些行列式的每一行都只有一个元素，同时大部分的行列式的值为 0 ，最终留下来的行列式的个数是

的全排列数，即

。

由此我们外推到

阶行列式的情况，就得到了行列式公式（the big formula--不知道怎么翻译，暂时就叫行列式公式吧）

一共有多少项呢？

是 1 到 n 这 n 个数的全排列数目，它们的全排列就对应行列式公式中的每一项的列下标。那么每一项的符号如何判断呢？我们知道如果这个数列是正向序列，那么就是对应于正对角线上的所有元素，此时该项为正，那么其他排列就可以视作是对它的置换操作，由此其他项的符号，我们根据将该序列置换到正对角线上需要置换的次数来判断，如果是偶数次置换，那么其符号为正，奇数次则为负。

举个列子

对于该行列式，我们可以扩展到

个行列式，但是由于每一行都只有 2 个元素，因此实际上我们最终只有两个行列式是不为 0 的，他们的列下标为

，

对

置换一次可以得到，因此该项为负，

则是置换了两次，因此该项为正，并且这两个行列式的值得绝对值都是 1 ，所以原矩阵是奇异矩阵，行列式为 0 。

■ 代数余子式

行列式公式给了我们计算行列式的方法，但是可以发现，需要计算的项数还是太多了，因此从行列式公式中，提炼出了代数余子式的方法。

我们将之前 3 阶矩阵的行列式的结果提取公因数，就得到了如下的式子

可以发现，括号中的项，就是将提取的公因数的下标所对应的行和列去除之后的矩阵的行列式的值。

由此我们得到代数余子式的定义，对于矩阵

而言，

的余子式即将原矩阵

中

所在的第

行与第

列的元素划去，剩下的元素不改变原来的顺序所构成的

阶矩阵的行列式称为

的余子式

，

所对应的代数余子式则为

, 余子式是不带符号的，但是代数余子式是带符号的，一个元素的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素所在的位置有关，符号由

的结果决定。

对于

阶行列式

,就等于它的任一行的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和：

同时我们知道矩阵的转置的行列式值不变，因此上述行列式的代数余子式求和公式也可以表示为该行列式的任一列的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和：

举个例子，上述二阶行列式的值就可以如此求解

再来一个三对角线矩阵的行列式的有趣的例子

继续下去，可以发现对于三对角线矩阵行列式，

，并且其值是每 6 个数一个循环。

19.2 习题课

2011年行列式习题课

(http://open.163.com/movie/2016/4/6/F/MBKJ0DQ52_MBORHQ86F.html)

计算下列 5 阶矩阵的行列式

由课程内容我们已经知道了计算行列式的三种方式，

• ①消元法（将矩阵消元到三角阵，则行列式为对角线元素的乘积）；
• ②行列式公式（the big formula）；
• ③代数余子式

实际计算过程中，我们会根据矩阵的结构，使用最方便的方法来计算。

解答

因为矩阵的转置的行列式的值和原矩阵行列式的值是相等的，所以利用代数余子式的方式，我们从列进行展开，行列式的结果是不变的。观察到

的第一列展开，则余子式所对应的矩阵是三角阵，计算行列式非常方便，因此我们对

使用代数余子式的方式来计算它的行列式,即

对于

，可以发现很多的重复元素，因此很自然会想使用消元法