【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( LTI 系统单位脉冲响应 | 卷积 | 卷积推导过程 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 03:42:52

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一、LTI 系统单位脉冲响应

线性时不变系统 , 简称 " LTI " , 英文全称 Linear time-invariant ;

系统的 " 时域特性 " 为

h (n) = T [δ (n)]

$h(n) = T[\delta(n)]$

;

在 " 模拟系统 " 中 , 当系统输入为

δ (t)

$\delta(t)$

时 , 系统的 " 零状态响应 " 是

h (t)

$h(t)$

;

在 " 离散系统 " 中 , 当系统输入为

δ (n)

$\delta(n)$

时 , 系统的 " 零状态响应 " 是

h (n)

$h(n)$

, 零状态是

y (- 1) = 0

$y(-1) = 0$

;

定义了系统的 " 单位脉冲响应 " 之后 , 系统的 " 输入 " 和 " 输出 " 之间 , 存在着 " 卷积 " 关系 ;

二、卷积

对于线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,

假设

x (n)

$x(n)$

是 LTI 系统的 " 输入序列 " ,

y (n)

$y(n)$

是 " 输出序列 " ,

则有 :

y (n) = + \infty \sum m = - \infty x (m) h (n - m) = x (n) * h (n)

$y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n)$

线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 输出序列 "

等于

" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的线性卷积 ;

推导过程如下 :

任何一个输入序列

x (n)

$x(n)$

, 都可以由单位脉冲序列的加权和表示 :

x (n) = + \infty \sum m = - \infty x (m) δ (n - m)

$x(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) \delta(n-m)$

与上面的输入序列

x (n)

$x(n)$

相对应的输出序列

y (n)

$y(n)$

为 :

y (n) = T [x (n)] = + \infty \sum m = - \infty x (m) T [δ (n - m)]

$y(n) = T[x(n)] = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) T[\delta(n-m)]$

上述式子中使用的系统

T [δ (n - m)]

$T[\delta(n-m)]$

是 " 线性 " 系统 ,

当该系统

T

$T$

的输入为

δ (n)

$\delta(n)$

时 , 输出为

h (n)

$h(n)$

;

( 根据 " 时不变 " 系统的性质 , 系统特性不随着时间变化而变化 )

当该系统

T

$T$

的输入为

δ (n - m)

$\delta(n-m)$

时 , 输出为

h (n - m)

$h(n-m)$

;

( 根据 " 时不变 " 系统的性质 , 系统特性不随着时间变化而变化 )

+ \infty \sum m = - \infty x (m) h (n - m) = x (n) * h (n)

$\sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n)$

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原始发表：2022-02-21，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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