超几何分布与二项分布及其期望

惊奇的发现选修2-3上有期望的介绍，不过我没有课本啊qwq。只能去网上找资料了。。

这两节我感觉比较有意思，就记一下吧

超几何分布

名字真高大上

定义

超几何分布(Hypergeometric distribution)是统计学上一种离散概率分布。它描述了由有限个物件中抽出$n$个物件，成功抽出指定种类的物件的个数（不归还 (without replacement)）。

举个例子：

$N$个物品中有$M$个是不合格的，超几何分布描述了在这$N$个样本中选$n$个，其中有$k$个是不合格的概率

$$P(x = k) = \frac{C_M^k C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n}$$

若随机变量$X$服从参数为$n, M, N$的超几何分布，则记为$$x \sim H(n, M, N)$$

期望

$E(x) = \frac{nM}{N}$

证明(前方高能)：

前置定理：

1. $k * C_M^k = M * C_{M - 1}^{k - 1}$

2. $\sum_{k = 0}^m C_M^k C_{N - M}^{n - k} = C_N^n$

推导过程

\begin{aligned} E(x) &= \sum_{k = 0}^m k * \frac{C_M^k * C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n} \\ &=\frac{1}{C_N^n} \sum_{k = 0}^m k C_M^K * C_{N - M}^{n - k}\\ &=\frac{1}{C_N^n} \sum_{k = 1}^m M C_{M - 1}^{k - 1} C_{N - M}^{n - k}\\ &=\frac{M}{C_N^n} \sum_{k = 1}^m C_{M - 1}^{k - 1}C_{N - M}^{n - k}\\ &=\frac{M}{C_N^n} C_{N - 1}^{n - 1} \\ &=\frac{nM}{N} \end{aligned}

方差

$$D(x) = {n(\frac{M}{N})(1-\frac{M}{N})(N-n) \over (N-1)}$$

二项分布

定义

在概率论和统计学中，二项分布（Binomial distribution）是$n$个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为$p$。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。

实际上，当$n = 1$时，二项分布就是伯努利分布。

一般地，如果随机变量$X$服从参数$n$和$p$的二项分布，我们记$x \sim b(n, p)$或$X \sim B(n, p)$.$n$次试验中正好得到$k$次成功的概率为

$f(x;n,p) = P(x = k) C_n^k \ p^k \ (1-p)^{n- k}$

期望

$E(x) = np$

证明

这不是很显然的么qwq。

$n$次试验均为独立的，每次试验的成功率为$p$

根据期望的线性性$E(x) = E(x_1) + E(x_2) + \dots E(x_n) = np$

如果你想找刺激的话可以继续往下看

$$P(X=k) = {n\choose k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\$$

\begin{aligned} EX &= \sum_{k=0}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\ &= \sum_{k=1}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\ &= \sum_{k=1}^n k {\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^kq^{n-k} \\ &= np\sum_{k=1}^n {\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)} \\ &= np\sum_{k=1}^n{n-1\choose k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\\ &= np[{n-1\choose 0}p^0q^{n-1}+{n-1\choose 1}p^1q^{n-2}+...+{n-1\choose n-1}p^{n-1}q^0] \\ &= np \end{aligned}

最后一步可以由二项式定理推得

方差

$$D(x) = np(1 - p)$$

参考资料

维基百科—超几何分布

维基百科—二项分布

二项分布的期望方差证明