数学不解释系列之数列极限

我是一名大学生， 一名数学的渣.

私以为,所谓专业, 就是熟练, 有货要倒得出, 说的明白, 所有才有这一系列文章, 我将分享在学数学过程中的一些栗子, 我尽量讲的深入浅出, 希望大家能够喜欢.

今天来给大家说说数列的极限

本文章若有任何的错误, 欢迎指教, 这是我的邮箱:devecor@163.com

什么是极限呢？不解释，举个栗子, 大家自行理解

栗子1-1

有一个无穷大的数, 取个名字叫\infty,读作无穷大,这是实数的边界，实数其实没有边界, 无穷大是 一个没有边界的域的一个假想的边界，那么1\over\infty? 当然是0啦. 类似的有: {1\over\infty}+1=1, a\cdot{1\over\infty}=0, a\cdot{1\over{\infty^2}}=0...wtf?这和极限有啥关系?

真正的栗子1-1:极限

这个等式的意思是 1 \over n在n趋于\infty时的极限为0, 读者可以简单的理解为{1 \over \infty} = 0

复杂一点的栗子1-2:夹逼定理

求\lim\limits_{n \rightarrow \infty} {1 \over \sqrt{n^2 + 1}} + {1 \over \sqrt{n^2 + 2} }+\cdots + {1 \over \sqrt{n^2 + n}}的极限^{[1]}

下面是一套不解释求解:

经过一番仔(zhi)细(jie)的(cha)观(li)察(ti), 发现此数列有n项, 第一项最大, 最后一项最小, 于是

过于冗长, 为书写方便, 我定义三个数列{\lbrace x_n \rbrace}, {\lbrace y_n \rbrace}, {\lbrace z_n \rbrace}, 其中

于是, 上式就变成了

进一步, 不解释变形为

还记得{1\over\infty}+1=1, a\cdot{1\over\infty}=0, a\cdot{1\over{\infty^2}}=0吗?我们来求一下, \lbrace x_n \rbrace, \lbrace y_n \rbrace的极限

那么, 1 \leq {\lim \limits_{n \rightarrow \infty}} y_n \leq 1, 这意味着什么?

对啦, {\lim \limits_{n \rightarrow \infty}} y_n = 1

如此, 极限就求出来了.

这个栗子使用的一个著名的定理----夹逼定理:

有三个数列{\lbrace x_n \rbrace}, {\lbrace y_n \rbrace}, {\lbrace z_n \rbrace}, 其中 x_n \leq y_n \leq z_n {\lim \limits_{n \rightarrow \infty}} x_n = a, {\lim \limits_{n \rightarrow \infty}} z_n = a 则{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}} y_n = a^{[1]}

大家肯定知道一个超级常用的常数e, 约等于2.7182818\cdots, 下面是一个关于e的栗子(不懂微积分的读者可以跳过栗子1-3, 因为重要概念, 我不解释, 害不害怕?):

栗子1-3:单调有界必有极限

证明数列\lbrace x_n \rbrace = \lbrace {\begin{pmatrix}1 + \frac{1}{n} \end{pmatrix}}^n \rbrace收敛^{[1]}

什么是收敛? 就是数列在n \rightarrow \infty处, 存在极限啦, 快往上翻看看啥是极限, 这里不解释

对于不听劝没跳过这节的读者, 此式的极限不能看作为{\begin{pmatrix} 1 +\frac{1}{\infty} \end{pmatrix}}^\infty, 也不能进一步看作{(1 + 0})^\infty = 1, 原因我不解释

证明正式开始:

证:

别急, 我发现这个数列是个二项式, 话不多说, 展开了瞅瞅:

如何转换请读者自行脑补或笔算, 这里不解释

s_{n+1}也可转换为类似的形式:

除了前两项相同之外, 后者每一项都大于前者相应项, 这说明:

即数列单调递增, 此处不解释

另外,

x_n < 1 + {\frac{1}{1!}} + {\frac{1}{2!}} + {\frac{1}{3!}} + \cdots + {\frac{1}{n!}}

< 1 + 1 + {\frac{1}{2}} + {\frac{1}{2^2}} + \cdots + {\frac{1}{2^{n-1}}}

= 1 + \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{1 - \frac{1}{2}} = 3 - \frac{1}{2^{n-1}} < 3

请读者根据x_n的展开式自行脑补过程

此式说明, 对于任意的n, x_n都不可能大于3, 即有上界, 上界大家根据字面理解, 不解释

此数列单调递增却不可能超过定值3, 这就意味着, 该数列存在极限

这就是单调有界必有极限准则, 读者可理解为, 单调递增有上界必有极限, 单调递减有下届必有极限, 切记不可理解为单调递减有上界还存在极限.

这个极限就是大名鼎鼎的e了, 即\lim\limits_{n \rightarrow\infty}\begin{pmatrix}1 + \frac{1}{n} \end{pmatrix}^n = e

很高兴你能读到此处, 若你不是学理工的人, 请跳过并结束本篇文章的阅读, 下面我将给出极限最正经的定义

栗子1-4: \epsilon - N定义

证明\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a} = 1

先来认识下什么是\epsilon - N定义

设有数列\lbrace x_n \rbrace和常数a, \forall \epsilon > 0, \exists N \in N, \forall n > N, 均有

我们就说x_n的极限是a

上面这段乱码是说, 对于任意小的\epsilon, 要多小有多小, 几乎可以看作是0, 存在一个正整数N, 使得在任意的n > N情况下, \mid x_n - a \mid < \epsilon恒成立, 则a是x_n极限.

我在说什么? 这是人话吗? 请读者自行意会, 笔者不解释

下面是证明过程

证:

啊, 证明过程简直不忍直视, 被笔者选择性忽略, 有兴趣的朋友可以参考此链接

参考文献

1 四川大学数学学院高等数学教研室. 高等数学第一册M. 第四版