求两个有序数组合并后的中位数，最透讲解| 腾讯面试编程50题(三)

本文是我的第303篇原创

摘要

本文是腾讯50道常考编程题之一：求解两个有序数组合并后的中位数，属于 "Hard" 难度，在校招中难倒一大波校招生。本文提供一种基本解法：基于归并排序。并对归并排序可能不是很了解的同学，提供了图解归并排序的讲解。

题目

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

则中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

分析

熟悉「归并排序」的同学( 对于不熟悉的下面也会图文阐述下 )，应该很快就能想出这个题目的解题思路，这个方法我认为也是这道题最直接的一种解法，并且也能满足求解时间复杂度的要求 O(m+n)，只不过需要占用O(m+n)的空间，但是题目未作要求。

完整代码

class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
        nums = []
        m, n = len(nums1), len(nums2)
        if m==0:
            if n%2 == 0:
                return (nums2[int(n / 2) - 1] + nums2[int(n / 2)]) / 2.0
            else:
                return nums2[int(n / 2)]
        if n == 0:
            if m %2 == 0:
                return (nums1[int(m / 2) - 1] + nums1[int(m / 2)]) / 2.0
            else:
                return nums1[int(m / 2)]
        count = 0
        i, j = 0, 0
        while count != m+n:
            if i == m:
                while j!= n:
                    nums.append(nums2[j])
                    count, j = count+1, j+1
                break
            if j == n:
                while i != m:
                    nums.append(nums1[i])
                    count, i = count+1, i+1
                break
            
            if nums1[i] < nums2[j]:
                nums.append(nums1[i])
                count, i = count+1, i+1
            else:
                nums.append(nums2[j])
                count, j = count+1, j+1
        
        ind = int(count / 2)
        if count %2 == 0:
            return (nums[ind - 1] + nums[ind]) / 2.0
        else:
            return nums[ind]

下文是我在2017年10月31日编写的，那时公众号还叫 算法channel，那时关注我的人只有几十个，可能现在大部分同学都没看到。现在经过整理后，附录到这里，希望能对不熟悉归并排序的同学有所帮助。

归并排序 图文讲解

归并思想

归并排序，英文名称是MERGE-SORT。

它是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。

将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。

算法的核心概念---二路归并

若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

归并过程

1. 比较 a[i] 和 b[j] 的大小，若 a[i]≤b[j]，则将第一个有序表中的元素a[i]复制到 r[k] 中，并令i 和 k 分别加上1；否则将第二个有序表中的元素b[j]复制到r[k] 中，并令 j 和 k 分别加上1；
2. 如此循环下去，直到其中一个有序表取完；
3. 然后再将另一个有序表中剩余的元素复制到 r 中从下标 k 到下标t的单元。

这个过程，请见下面的例子演示。

二路归并例子演示

如下图所示，初始状态时，a序列[2,3,5]和b序列[2,9]为已排序好的子序列，现在利用二路归并，将a和b合并为有序序列 r，初始时，i指向a的第一个元素，j指向b的第一个元素，k初始值等于0。

说明，r中最后一个元素起到哨兵的作用，灰色显示。

第一步，比较a[i]和b[j]，发现相等，如果规定相等时，a的先进入r，则如下图所示，i, k分别加1，为了形象化，归并后的元素不再绘制。

第二步，继续比较，此时b[j]小，所以b的元素2进入r，则如下图所示，j, k分别加1，

第三步，继续比较，此时a[i]小，所以a的元素3进入r，则如下图所示，i, k分别加1，

第四步，继续比较，此时a[i]小，所以a的元素5进入r，则如下图所示，i, k分别加1，此时序列a的3个元素已经归并完，b中还剩下一个，这个可以通过k可以看出，它还没有到达个数5。

第五步，将序列b中的所有剩余元素直接放入r中即可，不用做任何比较了，直至b变空，二路归并结束。

归并算法

归并排序的算法我们通常用递归实现。

1. 先把待排序区间 [s,t] 以中点二分；
2. 接着把左边子区间排序；
3. 再把右边子区间排序；
4. 最后把左区间和右区间用一次归并操作合并成有序的区间 [s,t] 。

归并排序的例子

我们仍然用冒泡排序和其改进后的快速排序算法，直接选择排序和堆排序算法，直接插入排序到希尔排序做的改进这三篇中用到的待排序列

3 2 5 9 2

归并排序的伪代码

sort(unsorted, start, end, sorted)
{
       if(start<end) {
            mid = start + (end-start)/2; //分隔区间
            sort(unsorted, start,mid,sorted);
            sort(unsorted,mid+1,end,sorted);
           merge(unsorted,start,mid,end,sorted);
      }
}

下图演示的是归并排序递归版，第一次执行二路归并时的示意图，注意观察右图的栈的入栈顺序，

可以看到sort的入栈顺序，当执行一次merge时，一定是有2个sort返回并有序了，如下图，sort[0,0]和sort[1,1]（递归返回的条件是start<end）都返回了，然后执行到merge，执行完merge后，sort[0,1]出栈，此时的栈顶为sort[0,2]函数，可以看出它的前半部分已经计算完，只需要计算后半部分，即第二个sort，然后再次merge，再sort[0,2]出栈。。。

如下为上个例子的归并排序的完整示例，sort 和 merge 的示意图，可以看到最后一次merge，正是上面说到的二路 [2,3,5] 和 [2,9] 的归并排序，如果不熟的，可以回过头再看看。

算法评价

归并排序的时间复杂度为O(nlogn) ，因为递归每次按照一半分区，并且merge需要线性时间。最重要的是该算法中最好、最坏和平均的时间性能都是O(nlogn)。

归并排序的空间复杂度为O(n)，会占用内存。

总之，归并排序虽然比较占用内存，但却是一种效率高且稳定的算法。

总结

归并排序的时间复杂度，在最坏，最好和平均都是O(nlogn)，这是效率，性能非常好的排序算法。

只不过它需要占用 O(n)的内存空间，如果数据量一旦很大，内存可能吃不消，这是它的弱点和致命伤。而其他排序算法，比如快速排序，希尔排序，都是就地排序算法，它们不占用额外的内存空间。

不过，这个占用内存的弱点，可以改进为就地排序，大家感兴趣，可以查看一下。