硬核蹭热点系列：负油价和巴舍利耶模型

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引言

本文是「硬核蹭热点系列」系列的第一篇

1. 负油价和巴舍利耶模型

2020 年 4 月 20 日美国原油期货价格暴跌约 300%，收于每桶 -37.63 美元。各大财经号都开始分析表达自己的看法。看法无对错，但有利益方总是挑着对自己有利的观点看，比如多头受害者就疯狂转发【金融监管研究院】的文章，质疑为什么不帮他们平仓止损；某行员工们就疯狂转发【秦小明】的文章，表示产品结算前操作没问题；空头受益者啥也不转发，觉得这一切很美丽。

看法无对错，挑着自己想看的而去争个对错毫无意义，事实才有真假，但是内部人员又不会说，咋咋乎乎的全是没有 skin-in-the-game 的外部人员。

我能做的只是从量化金融和 Python 实现的角度来看看负油价事件带来的影响吧。在期货价格为负的第二天，芝加哥商品交易所（CME）就发了一则通知，截屏如下（注意高亮字段）：

要看全文通告可点击下面的原文链接。

CME 从 2020 年 4 月 21 日起将以原油期货为标的的期权定价和估值模型从布莱尔斯科尔斯（Black-Scholes, BS）模型换成巴舍利耶（Bachelier）模型。

很明显，CME 换模型就是要考虑“标的价格可以为负”的情景了，BS 模型下的价格永远为正，而 Bachelier 模型下的价格可正可负。

本帖内容结构如下：

• 首先回顾 Black-Scholes 模型，介绍到期日的价格如何模拟，已经如何反解隐含波动率。
• 接着研究 Bachelier 模型，包括从头到尾的详细公式推导，以及相同 BS 价格倒推出来的波动率和 BS 波动率有什么关系。

由于本帖蹭得是原油热点，我就按商品为资产类型来描述 BS 和 Bachelier 模型下的相关术语。

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Black-Scholes 模型

原生资产 (商品现货价格) 的随机微分方程（SDE）如下：

其中

• S(t) = 资产在时点 t 的值
• r= 常数型瞬时利率
• q = 常数型净便利收益率 (net convenience yield)
• σ = 常数型瞬时波动率
• W(t) = 布朗运动

对于消费型商品（非投资型商品如黄金或白银），你持有现货会给你带来便利（convenience yield），但也会有存储费用（cost of carry），而上面的 q 是净便利，就是便利和费用的差。

BS 的推导见得太多了，因此简叙一下推导步骤：

1. 用伊藤公式解 SDE 得到 S(T)
2. 将 S(T) 带入期权支付函数中求积分

首先根据伊藤公式解 S(T)

再求积分得到期权定价公式，看涨看跌期权用 ω 来区分，ω = 1 时为看涨，ω = -1 时为看跌：

通常我更喜欢把公式写成 F(t, T) 形式，ln(F(t, T)/K) 衡量着价内外状态（moneyness），而

才是 S 从 t 到 T 的真正的波动率，σ 并不是，它只是波动率系数。

路径模拟

在用代码来实现 BS 模型前，我们先来模拟 10 条不同路径的 S(T)，按照以下公式，先模拟 lnS(T)，再用 exp(lnS(T)) 返回到 S(T)

代码如下：

(S0, r, q, T, sigma) = (1, 0.02, 0.01, 1, 0.5)
(Nsim, Nt) = (10, 1000)
t = np.linspace(0,T,Nt)
dt = np.diff(t)

z = np.random.randn(Nsim, Nt-1)
A = (r-q-0.5*(sigma)**2)*dt + sigma*(z*np.sqrt(dt))

lnS0 = np.tile(np.log(S0),(Nsim,1))
lnS = lnS0 + np.cumsum(A, axis=1)
lnS = np.hstack( (lnS0, lnS) )
S = np.exp(lnS)

用 cufflinks 来画图：

label = [ x + ' ' + str(y) for x, y in zip(['path']*Nsim, np.arange(1,Nsim+1)) ]
df = pd.DataFrame(S.T, index=t, columns=label)
df.iplot( xTitle='t', 
          yTitle='S', 
          title='Black-Scholes 模型价格路径模拟', 
          theme='ggplot' )

要点：S(T) 没有负值

期权定价

实现 BS 模型的代码如下：

测试一下 blackscholes() 得到一个看涨期权价格为 7.5459，记住这是用 0.1 = 10% 的波动率计算出来的结果。

(S0, K, r, q, T, sigma, omega) = (100, 95, 0.01, 0, 1, 0.1, 1)
V_BS = blackscholes(S0, K, r, q, T, sigma, omega)
V_BS

7.545870893948695

反解波动率

给定市场上期权的交易价格，根据 BS 模型的公式可以反解出波动率，即波动率等于多少用 BS 公式可以刚好计算出期权价格。

实现起来非常简单，用 scipy.optimize 里面的 fsolve 即可，代码如下：

用上面计算出的结果 V_BS，看是否能反解出 0.1 的波动率呢。没有问题。

get_BS_IV( V_BS, S0, K, r, q, T, omega )

0.09999999999999983

上面这些 Quant 都玩熟了，直到 Bachelier 模型出现，我们还是可以按照上面的思路来继续玩。

2

Bachelier 模型

原生资产 (商品现货价格) 的随机微分方程（SDE）如下：

其中

• S(t) = 资产在时点 t 的值
• r= 常数型瞬时利率
• q = 常数型净便利收益率 (net convenience yield)
• σ = 常数型波动率
• W(t) = 布朗运动

上面大多参数含义和 BS 模型中的一样， 只有 σ 不再是瞬时波动率，而是波动率了，注意 SDE 的扩散项（diffusion term）只有 σ，没有 S(t) 了，那么这里 σ 指的是一个波动率的绝对数目，而不是比率。但是漂移项（drift term）还带 S(t)，这点非常重要，因为 r 和 q 还是一个比率的概念，而不是一个具体数目的概念。

Bachelier 的推导虽然很早就有了，但可能大家没怎么关注，因此详叙一下推导步骤：

1. 用通用线性 SDE 的解得到 S(T)
2. 将 S(T) 带入期权支付函数中求积分

首先通用线性 SDE 的解 S(T)

想看推导的就看篮框里的内容，不想看的跳过篮框。

再用等距性质 (Isometry property) 得到

接下来再求积分得到期权定价公式，同样看涨看跌期权用 ω 来区分，ω = 1 时为看涨，ω = -1 时为看跌：

这时把 F(t, T) - K 衡量着价内外状态（moneyness），同理而 v 才是 S 从 t 到 T 的真正的波动率，σ 并不是，它只是波动率系数。

想看上面公式推导的就看篮框里的内容，不想看的跳过篮框。

硬核推导完了，接下来就来看看 Bachelier 下的路径模拟和期权定价。

路径模拟

代码如下：

(S0, r, q, T, sigma) = (1, 0.02, 0.01, 10, 0.5)
(Nsim, Nt) = (10, 1000)
t = np.linspace(0,T,Nt)
dt = np.diff(t)
z = np.random.randn(Nsim, Nt-1)

A = np.exp((r-q)*t)

if r == q:
    B = sigma*(z*np.sqrt(dt)) / A[1:]
else:
    B = sigma*(z*np.sqrt( (np.exp(2*(r-q)*dt)-1) / (2*(r-q)) )) / A[1:]

discS0 = np.tile( S0/A[0], (Nsim,1) )
discS = discS0 + np.cumsum(B, axis=1)
discS = np.hstack( (discS0, discS) )
S = discS * A

用 cufflinks 来画图：

label = [ x + ' ' + str(y) for x, y in zip(['path']*Nsim, np.arange(1,Nsim+1)) ]
df = pd.DataFrame(S.T, index=t, columns=label)
df.iplot( xTitle='t', 
          yTitle='S', 
          title='Bachelier 模型价格路径模拟', 
          theme='ggplot' )

要点：S(T) 有负值

其实要模拟出负值，S 要小，σ 要大。这不正是 4 月 20 日晚上发生的情况吗？其他情况下模拟出负价格的概率也不大。

期权定价

实现 Bachelier 模型的代码如下：

用 blackscholes() 模型同样的参数（虽然不合理，等下讲）带入 bachelier() 得到一个看涨期权价格为 5.9453。

(S0, K, r, q, T, sigma, omega) = (100, 95, 0.01, 0, 1, 0.1, 1)V_BL = bachelier(S0, K, r, q, T, sigma, omega)V_BL

5.945265793829019

不合理的点在于 BS 和 Bachelier 中的波动率含义不一样：

• BS 的 σ 是比率的概念，10%，20% 等
• Bachelier 的 σ 是数目的概念，10, 20 等

因此输入波动率为 0.1*S0 才能得到和 BS 匹配的结果，来试试

V_BL = bachelier(S0, K, r, q, T, sigma*S0, omega)V_BL

7.630422479463851

果然和 BS 的家国 7.5459 很接近。那其实我们在反解 Bachelier 模型下的波动率时，可以近似用

BS 波动率 / S0

接下来我们来看看 Bachelier 是否能计算当 S0 为负时的期权价格，来假设模拟 20 日当天的情况，S0 = -37。期权刚发行时一般都按照当时的远期价格，假设 K = 20，来运行代码：

(S0, K) = (-37, 20)
V_BL = bachelier(S0, K, r, q, T, sigma*np.abs(S0), omega)
V_BL

1.246987875662463e-54

价格几乎为零，合理！

要点

Always Know Your Shit

When Playing Your Toys

反解波动率

给定市场上期权的交易价格，根据 Bachelier 模型的公式可以反解出波动率，即波动率等于多少用 Bachelier 公式可以刚好计算出期权价格。

实现起来非常简单，也用 scipy.optimize 里面的 fsolve 即可，代码如下：

现在我们用 V_BS 价格来反解出 Bachelier 模型的波动率。

(S0, K, r, q, T, omega) = (100, 95, 0.01, 0, 1, 1)
BS_sigma = 0.1
BS_price = blackscholes(S0, K, r, q, T, BS_sigma, omega)
BL_price = BS_price
BL_sigma = get_BL_IV( BL_price, S0, K, r, q, T, omega )
BL_sigma

9.744178790421072

用和近似解得到的 0.1*100 = 10 相比接近，合理。

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总结

BS 和 Bachelier 最大的不同就是

• BS 模型下的 S(T) 是对数正态分布，永远为正
• Bachelier 模型下的 S(T) 是正态分布，可正可负

Bachelier 模型可以计算负期货价格下的期权价值，但我们上面一直在讲现货价格的 SDE。其实期货价格的 SDE 更简单，没有漂移项只有扩散项，上面所有公式还是能用，把 r 和 q 设定为零就行。

现在我在思考一个问题，用 shifted-lognormal 模型（即 S(t) - c 服从 lognormal 分布）可不可以？

Stay Tuned！