Python 进阶视频课 - 6. SciPy 下

1. NumPy 上
2. NumPy 下
3. Pandas 上
4. Pandas 下
5. SciPy 上

之前基础版的 11 节的目录如下：

1. 编程概览
2. 元素型数据
3. 容器型数据
4. 流程控制：条件-循环-异常处理
5. 函数上：低阶函数
6. 函数下：高阶函数
7. 类和对象：封装-继承-多态-组合
8. 字符串专场：格式化和正则化
9. 解析表达式：简约也简单
10. 生成器和迭代器：简约不简单
11. 装饰器：高端不简单

上节主要从插值、数值积分和优化三大功能介绍 scipy，下节从有限差分和线性回归两大功能来介绍 scipy。

偏微分方程有限差分 (finite difference, FD) 算是金融工程中比较难学的，但我会讲里面所有难懂的概念可视化出来。下图可是我用 matplotlib 写代码画出 (敢问谁会这么用心来这么做) 用 FD 求解 PDE 所了解的核心元素：

• 网格：空间维度的 S (对应标的资产价格)，时间维度的 t (对应衍生品到期日)
• 终止条件：任何金融产品都是支付函数，可设为 PDE 的终止条件
• 边界条件：很多金融产品的支付在标的很大或很小时会确定比如看涨期权
  • 在标的为零时支付为零
  • 在标的很大时近似为一个远期。
• 求解格式：完全显式 (explicit)、完全隐式 (implicit) 和克莱克尼克尔森 (Crank-Nicolson)

在求解 PDE 时，我只说五句话，配着下面的图 (也是用 matpplotlib 写代码画的)。

1. 水平面上的灰点是网格
2. 红线是终值条件 (产品在到期日支付函数)
3. 两条深青线是边界条件 (产品在标的上下界时的支付)
4. 蓝点是期权值 (产品在 0 时点的值)
5. 从 T4 到 T0 一步步解的 (从后往前解)

以上步骤弄明白了，要得到更精确的值，需要把 S 和 t 轴上的点打的更密就完事了，你看，其他书讲的很难懂的 PDE FD 我用几张简图可视化一下就好懂多了吧。

FD 对于定价标的少于 4 个的金融衍生品是个很好的方法：

• 高效：和蒙特卡洛方法比快很多
• 稳定：和蒙特卡洛方法比稳很多
• 普适：对于不同产品整个求解过程几乎一样，不同的就是设定不同的上下界、终止条件和边界条件。

在 PDE FD 中用到了稀疏矩阵 (sparse matrix)，这个算是 SciPy 中最有内容的知识点之一。和稠密矩阵相比，稀疏矩阵的最大好处就是节省大量的内存空间来储存零。稀疏矩阵本质上还是矩阵，只不过多数位置是空的，那么存储所有的 0 非常浪费。稀疏矩阵的存储机制有很多种 (列出常用的五种)：

• COO (Coordinate List Format)：座标格式，容易创建但是不便于矩阵计算，用 coo_matrix
• CSR (Compressed Sparse Row)： 压缩行格式，不容易创建但便于矩阵计算，用 csr_matri
• CSC (Compressed Sparse Column)： 压缩列格式，不容易创建但便于矩阵计算，用 csc_matrix
• LIL (List of List): 内嵌列表格式，支持切片但也不便于矩阵计算，用 lil_matrix
• DIA (Diagnoal)：对角线格式，适合矩阵计算，用 dia_matrix

五种稀疏矩阵的动图如下：