从一道简单「贪心」题入手，教你如何用反证法进行证明 ...

题目描述

这是 LeetCode 上的「561. 数组拆分 I」，难度为 「Easy」。

给定长度为 2n 的整数数组 nums ，你的任务是将这些数分成 n 对。

例如 (a1, b1), (a2, b2), ..., (an, bn) ，使得从 1 到 n 的 min(ai, bi) 总和最大。

返回该最大总和。

示例 1：

输入：nums = [1,4,3,2]
输出：4
解释：所有可能的分法（忽略元素顺序）为：
1. (1, 4), (2, 3) -> min(1, 4) + min(2, 3) = 1 + 2 = 3
2. (1, 3), (2, 4) -> min(1, 3) + min(2, 4) = 1 + 2 = 3
3. (1, 2), (3, 4) -> min(1, 2) + min(3, 4) = 1 + 3 = 4
所以最大总和为 4

示例 2：

输入：nums = [6,2,6,5,1,2]
输出：9
解释：最优的分法为 (2, 1), (2, 5), (6, 6). 
min(2, 1) + min(2, 5) + min(6, 6) = 1 + 2 + 6 = 9

提示：

• 1 <= n <= 10^4
• nums.length == 2 * n
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4

贪心解法

我们先对数组进行排序。

由于每两个数，我们只能选择当前小的一个进行累加。

因此我们猜想应该从第一个位置进行选择，然后隔一步选择下一个数。这样形成的序列的求和值最大。

class Solution {
    public int arrayPairSum(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        Arrays.sort(nums);
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i += 2) ans += nums[i];
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：

• 空间复杂度：

证明

我们用反证法来证明，为什么这样选择的序列的求和值一定是最大的。

猜想：对数组进行排序，从第一个位置进行选择，然后隔一步选择下一个数。这样形成的序列的求和值最大（下图黑标，代表当前被选择的数字）。

之所以我们能这么选择，是因为每一个被选择的数的「下一位位置」都对应着一个「大于等于」当前数的值（假设位置为 k ），使得当前数在 min(a,b) 关系中能被选择（下图红标，代表保证前面一个黑标能够被选择的辅助数）。

假如我们这样选择的序列求和不是最大值，那么说明至少我们有一个值选错了，应该选择更大的数才对。

那么意味着我们「某一位置」的黑标应该从当前位置指向更后的位置。

PS. 因为要满足 min(a, b) 的数才会被累加，因此每一个红标右移（变大）必然导致原本所对应的黑标发生「同样程度 或 不同程度」的右移（变大）

这会导致我们所有的红标黑标同时往后平移。

最终会导致我们最后一个黑标出现在最后一位，这时候最后一位黑标不得不与我们第 k 个位置的数形成一对。

我们看看这是求和序列的变化（ k 位置前的求和项没有发生变化，我们从 k 位置开始分析）：

1. 原答案 = nums[k] + nums[k + 2] + ... + nums[n - 1]
2. 调整后答案 = nums[k + 1] + nums[k + 3] + ... + nums[n - 2] + min(nums[n], nums[k])

由于 min(nums[n], nums[k]) 中必然是 nums[k] 被选择。因此：

调整后答案 = nums[k] + nums[k + 1] + nums[k + 3] + ... + nums[n - 2]

显然从原答案的每一项都「大于等于」调整后答案的每一项，因此「不可能在「假想序列」中通过选择别的更大的数得到更优解，假想得证。」

为什么要「证明」或「理解证明」

证明的意义在于，「你知道为什么这样做是对的」。

带来的好处是：

1. 一道「贪心」题目能搞清楚证明，那么同类的「贪心」题目你就都会做了。「否则就会停留在“我知道这道题可以这样贪心，别的题我不确定是否也能这样做”」。
2. 在「面试」阶段，「你可以很清晰讲解你的思路」。让面试官从你的「思维方式」上喜欢上你（ emmm 当然从颜值上也可以 :) ...

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.* 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

由于 LeetCode 的题目随着周赛 & 双周赛不断增加，为了方便我们统计进度，我们将按照系列起始时的总题数作为分母，完成的题目作为分子，进行进度计算。当前进度为 */1916 。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我在 Github 建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode。

「在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和一些其他的优选题解。」