吴恩达笔记7_支持向量机

吴恩达机器学习-7-支持向量机SVM

本周主要是讲解了支持向量机SVM的相关知识点

• 硬间隔
• 支持向量
• 软间隔
• 对偶问题

优化目标Optimization Objectives

主要是讲解如何从逻辑回归慢慢的推导出本质上的支持向量机。逻辑回归的假设形式：

• 左边是假设函数
• 右边是Sigmoid激活函数

令z={\theta}^{T}x，如果满足：

1. 若y=1，希望h{(\theta)}约为1，将样本正确分类，那么z必须满足z>>0
2. 若y=0，希望h(\theta)约为0，将样本正确分类，那么z必须满足z<<0

样本正确分类指的是：假设函数h(x)得到的结果和真实值y是一致的

总代价函数通常是对所有的训练样本进行求和，并且每个样本都会为总代价函数增加上式的最后一项（还有个系数\frac{1}{m}，系数忽略掉）

如果y=1，目标函数中只有第一项起作用，得到了表达式 ：

支持向量机

根据逻辑回归推导得到的支持向量机的公式 ：

两个cost函数是上面提到的两条直线。对于逻辑回归，在目标函数中有两项：

• 第一个是训练样本的代价
• 第二个是正则化项

大边界的直观解释

下面是支持向量机的代价函数模型。

SVM决策边界

SVM鲁棒性：间隔最大化，是一种大间距分类器。

关于上图的解释：

1. C太大的话，将是粉色的线
2. C不是过大的话，将是黑色的线

大间距分类器的描述，仅仅是从直观上给出了正则化参数C非常大的情形，C的作用类似于之前使用过的正则化参数\frac{1}{\lambda}

• C较大，可能导致过拟合，高方差
• C较小，可能导致低拟合，高偏差

硬间隔模型

间隔和支持向量

注释：本文中全部采用列向量：

给定一个样本训练集D={(x_1,y_1),(x_2,y_2),…,(x_m,y_m)}，其中y_i \in {(-1,+1)}

分类学习的基本思想就是：基于训练集D在样本空间上找到一个划分的超平面

上面红色的线是最好的。所产生的分类结果是最鲁棒的，最稳定的，泛化能力是最好的。

划分超平面的的线性描述：

W称之为法向量（看做是列向量），决定平面的方向；b是位移项，决定了超平面和原点之间的距离。

空间中任意一点x到超平面(w,b)的距离是：

在+区域的点满足y=+1：

在-区域的点满足y=-1：

综合上面的两个式子有：

支持向量

距离超平面最近的几个点（带上圆圈的几个点）称之为支持向量support vector，这个点到超平面到距离称之为间隔margin

刚好在决策边界上的点（下图中带上圆圈的点）满足上式中的等号成立：

间距margin

求解间距margin就是求解向量{({x_+}-{x_-})}在法向量上的投影

决策边界上的正例表示为：

决策边界行的负例表示为：

将两个结果带入margin 的表达式中：

SVM的基本模型

最大间隔化只需要将||w||最小化即可：

SVM-对偶模型

模型参数推导

希望求解上面基本模型对应超平面的模型：

利用拉格朗日乘子\alpha_i，改成拉格朗日函数：

分别对w,b求导，可以得到：

对偶模型

原始问题是极大转成最大值问题：

带入拉格朗日函数中，得到对偶问题（全部是关于\alpha系数）：

转换一下，变成最小值问题（上面的式子加上负号）：

那么超平面的模型 ：

SMO算法

思想

SMO算法指的是Sequential Minimal Optimization，序列最小优化算法。算法的根本思路是：

所有的\alpha满足：

1. 先选取需要更新的变量\alpha_i和\alpha_j
2. 固定变量\alpha_i和\alpha_j以外的参数，求解更新后的变量\alpha_i和\alpha_j

其中c使得上式成立：

1. 将变量\alpha_i和\alpha_j的其中一个用另一个来表示，得到关于\alpha_i的单变量二次规划问题，就可以求出来变量\alpha_i

软间隔最大化

上面的结论和推导都是针对的线性可分的数据。线性不可分数据意味着某些样本点(x_i,y_i)不再满足函数间隔大于等于1的约束条件，比如下图中的红圈中的点，故引入了松弛变量\xi_i \geq0，满足：

因此，目标函数由原来的\frac{1}{2}{||w||^2}变成了

其中C\geq0是惩罚项参数，C值越大对误分类的越大，C越小对误分类的惩罚越小。