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社区首页 >专栏 >【论文解读】GCN论文总结

【论文解读】GCN论文总结

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黄博的机器学习圈子
发布于 2021-04-16 04:52:27
发布于 2021-04-16 04:52:27
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本次要总结和分享的是ICLR2017的关于GCN方面的代表作之一论文:SEMI-SUPERVISED CLASSIFICATION WITH GRAPH CONVOLUTIONAL NETWORKS,论文链接为 paper[1],参考的实现代码为pygcn[2]

文章目录

  • 先导知识
  • 论文动机
  • 模型
    • 切比雪夫逼近卷积核函数
    • 图上的快速近似卷积
    • 半监督节点分类
  • 实验
  • 核心代码分析
  • 个人总结

先导知识

在读这篇论文之前,需要对先导论文 Convolutional Neural Networks on Graphs with Fast Localized Spectral Filtering 有着深入的理解,否则里面数学推导会让人感到迷茫。关于该先导论文,之前的博文已经对其推导过程进行了详细分析,Convolutional Neural Networks on Graphs with Fast Localized Spectral Filtering[3]

GCN论文阅读总结

感兴趣可以一看,因为其数学推导过程比较复杂,下面进行下简单梳理:

  1. 回顾卷积定义 在维基百科里,可以得到卷积操作的定义:
(f*g)(t)

f*g

的卷积

(f*g)(t) = \int_R f(x)g(t-x)dx
(f*g)(t) = \sum_Rf(x)g(t-x)
  1. 用傅里叶变换来表示卷积
f*g = F^{-1}\{F\{f\} \cdot F\{g\}\}
F

表示傅里叶变换,

F^{-1}

傅里叶逆变换 也即是:即对于函数

f

g

两者的卷积是其函数傅立叶变换乘积的逆变换

  1. 在graph上的卷积形式推导过程
f*g = F^{-1}\{F\{f\} \cdot F\{g\}\}
g*x = U((U^Tg) \odot (U^Tx))

上式中的

g

表示卷积核函数(带参数),

U

表示是graph的邻接矩阵

A

的拉普拉斯矩阵

L

的特征向量 由此得到图上的卷积形式:

y = \sigma (U g_\theta(\Lambda) U^T x)

其中

\sigma

为激活函数,

g_\theta(\Lambda)

就是卷积核,注意

\Lambda

为拉普拉斯矩阵

L

特征值组成的对角矩阵,所以

g_\theta(\Lambda)

也是对角的 推导可得卷积核函数

g_\theta(\Lambda)

如下:

g_\theta(\Lambda)=\sum_{k=0}^{K-1}\theta_k\Lambda^k

继续推导可得:

y = \sigma(\sum_{k=0}^{K-1}\theta_k(L)^k x)

上式中

L

为graph的邻接矩阵A的拉普拉斯矩阵,

\theta

为卷积核参数。

  1. 切比雪夫逼近卷积核
g_\theta(\Lambda) = \sum_{k=0}^{K-1}\theta_{k}^{'} T_k(\hat{\Lambda})

其中

T_k(\cdot)

表示切比雪夫多项式,

\beta_k

表示模型需要学习的参数,

\hat{\Lambda}

表示re-scaled的

L

特征值对角矩阵,进行这个shift变换的原因是Chebyshev多项式的输入要在

[-1,1]

之间,因此

\hat{\Lambda} = 2\Lambda/\lambda_{max}-I

(

\lambda_{max}

L

的最大特征值)

y = \sigma (U g_\theta(\Lambda) U^T x) = \sigma ( \sum_{k=0}^{K-1}\theta_{k}^{'} T_k(\hat{L}) x)
\hat{L}=2L/\lambda_{max}-I

由此可以进行递推逼近:

T_0(\hat{L}) = I, T_1(\hat{L}) = \hat{L}
T_k(\hat{L}) = 2\hat{L}T_{k-1}(\hat{L}) -T_{k-2}(\hat{L})

熟悉了上述推导过程,那么对于本文要总结的论文理解起来就简单多了。

论文动机

  • 考虑对图(如论文引用网络)中的节点(如文档)进行分类的问题,其中仅有一小部分节点带有label信息。这个问题可以被定义为基于图的半监督学习,其中标签信息通过某种形式的基于图的显式正则化在图上进行平滑,比如在损失函数上加上拉普拉斯正则项,但是这种做法的前提假设是:在图中相邻连接的节点可能拥有相似的标签信息,这种假设可能会限制建模能力,因为图中的边不一定连接拥有相似的节点,但可能包含额外的信息。
  • 本论文所提方法,能直接对graph进行编码,避免了正则平滑,
f(\cdot)

作用在图的邻接矩阵上进行有监督学习,并且能学习到每个节点的embedding向量。

  • 本论文受上面所提到的先导论文启发,限制切比雪夫多项式
K=1

,提出了一种可在图上进行快速卷积的模型,并且提出了

renormalization\ trick

,在数学上进行了推导,证明了该模型的合理性;同时展示了这种基于图的神经网络模型如何进行半监督的分类。

模型

该部分直接在先导知识基础上进行数学公式的推导,最终得到本论文所提的模型。

切比雪夫逼近卷积核函数

在先导知识中,卷积核可等于

g_\theta(\Lambda) = \sum_{k=0}^{K}\theta_{k}^{'} T_k(\hat{\Lambda})

则有:

g_\theta(\Lambda) \star x \approx \sum_{k=0}^{K}\theta_{k}^{'} T_k(\hat{\Lambda}) x

图上的快速近似卷积

在切比雪夫逼近卷积核函数时,本论文中限制其切比雪夫项数

K=1

,同时进一步近似

\lambda_{max}\approx2

,则可得:

g_{{\theta}^{'}}\star x \approx \theta^{'}_0 x+\theta^{'}_1(L-I_N)x=\theta^{'}_0x-\theta^{'}_1D^{-\frac{1}{2}}AD^{-\frac{1}{2}}x

可以看出上述公式是一种线性的变换。

Convolutional Neural Networks on Graphs with Fast Localized Spectral Filtering[4] 中,分析过,切比雪夫的项数就是就是图卷积的感受野,而这里限制了项数 K= 1,相当于只做了所谓的 first-order approximation,每个节点考虑其一阶邻居对他的影响。

这样做有一些好处的,比如能够缓解局部邻域结构的过度拟合问题,同时这种分层线性的计算方式,允许我们构建更深层次的模型,可以提高建模能力,比如当叠加两层的卷积时,相当于每个节点可以把 2-hops 邻居的特征加以聚合。这样就避免了k=1时只能考虑一阶邻居的影响了。

进一步的,为了限制模型参数,降低每层的计算等,令

\theta=\theta^{'}_0=-\theta^{'}_1

,则有:

g_{{\theta}^{'}}\star x \approx \theta (I_N+D^{-\frac{1}{2}}AD^{-\frac{1}{2}})x
I_N+D^{-\frac{1}{2}}AD^{-\frac{1}{2}}

的特征值在

[0,2]

范围来,当网络叠加更多层时,容易出现梯度消散/爆炸的问题。论文中提出了

renormalization\ trick

,即:

I_N+D^{-\frac{1}{2}}AD^{-\frac{1}{2}}\ ->\ \overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}\overset{\sim}{A}\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}
\overset{\sim}{A}=A+I_N, \overset{\sim}{D}_{ii}=\sum_j \overset{\sim}{A}_{ij}

注意:从数学公式的推导上看在

A+I_N

的基础上处理是合理的,同时从分析上看也是合理的,因为邻接矩阵

A

对角线为0,在卷积时,每个节点只能聚合其相邻节点特征,却忽略了自身特征,因此加上

I_N

本身也是有必要的。这种

+I_N

的操作可理解为

add\ self\ loops

,也即增加自循环。

这种

renormalization\ trick

操作,保证了结果的对称性,同时做到了近似归一化。

\overset{\sim}{A}=A+\lambda I_N

,针对不同的数据集,

\lambda

取值不一样,

因此卷积过程可表达为如下:

Z=\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}\overset{\sim}{A}\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}X\theta

上式中

X \in R^{N \times C}

N

为样本数量,

C

为输入通道数(也就是每个节点的特征向量维度),

\theta \in R^{C \times F}

为卷积核参数矩阵,

Z \in R^{N \times F}

为卷积后的矩阵。

上式可以形象的以下图表示:

半监督节点分类

上图中

C

表示每个输入节点的特征向量维度,

F

表示卷积后的feature_maps个数,多层叠加时,最后一层F为类别个数。

上面我们得到:

Z=\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}\overset{\sim}{A}\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}X\theta

这里记:

\hat{A} = \overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}\overset{\sim}{A}\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}

,这一步可以在预处理阶段计算好,叠加两层卷积,则可以得:

Z=f(X,A)= softmax(\hat{A} Relu(\hat{A}XW^{(0)})W^{(1)})

上式中,

X \in R^{N \times C}

N

为样本数量,

C

为输入通道数(也就是每个节点的特征向量维度),

\hat{A} \in R^{N \times N}

W^{(0)} \in R^{C \times H}

为 输入层到隐藏层的参数矩阵,是模型需要学习的,有

H

feature\ maps

W^{(1)} \in R^{H \times F}

为隐藏层到输出层的参数矩阵,是模型需要进行学习的。卷积结果为

Z \in R^{N \times F}

F可理解为类别个数

softmax(x_i)=\frac{1}{Z'}exp(x_i), \ Z'=\sum_i exp(x_i)

上述公式中是以row-wise进行softmax,

exp(x_i)

可理解为属于某个类别的logits,

Z'

可理解为属于所有类别的logits。则模型的损失函数可表示为如下:

L=-\sum_{l \in y_L}\sum_{f=1}^{F}Y_{lf}lnZ_{lf}

上式其实就是多分类上的cross entropy loss,中

y_L

为带标签的节点数量。注意第二项是在

F

上计算。

通过上面的推导分析,我们可以得到本论文图卷积的数学公式如下:

H^{(l+1)}=f(H^{(l)}, A) = \sigma(\hat{A}H^{(l)}W^{(l)})
= \sigma(\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}\overset{\sim}{A}\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}H^{(l)}W^{(l)})

上式中

l

表示卷积的隐藏层个数(叠加层数,可聚合节点本身与其

l-hops

的节点特征,可理解卷积感受野),

H^{(l)}

表示第

l

层的隐藏层输出,刚开始

H^{(0)} = X

W

表示模型需要学习的参数矩阵。注意在叠加多层时,

\hat{A}

是不变的

单从这个公式来看,本论文所提的图上的卷积方式其实很简单的。

实验

数据集:

论文中用到了上述四个数据集,上表中展示了每个数据集的节点数量、边的数量、类别数、特征维度、带标签节点占比。

以Citation network(Citeseer,Cora,Pubmed)举例,该网络是大量文档组成,以文档为节点,以是否有"引用“来连边。其中每个节点的原始输入特征有词袋特征来定义获得,每个节点都有唯一所属的类别(class label)。由此构成了一张图。

实验的一些参数等设置,这里就不详叙述了。

实验结果:

上图的实验中,评价指标为节点分类的ACC,加粗的GCN(this paper) 为论文中的所提的有两层叠加的图卷积网络,GCN(rand,splits) 与GCN(this paper) 网络结构一样,只不过数据集划分上不一样而已。由上图可以看出,本论文提出的GCN网络分类效果最好。

除此之外,论文中还和以往的一些GCN网络进行了对比实验:

在这里插入图片描述

显然也是本论文中所提的带有Renormalization trick的GCN效果最好。

核心代码分析

抛开一系列的数学推导不管,其实本论文所提的图卷积方法可用数学公式表示如下:

H^{(l+1)}= \sigma(\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}\overset{\sim}{A}\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}H^{(l)}W^{(l)})

初始时:

H^{(0)}=X

,而

\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}\overset{\sim}{A}\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}

始终是不变的,可以提前计算好。因此代码实现起来其实非常简单了。

代码参考的是pygcn[5]

开源代码中使用的数据集是Cora dataset,关于文档引用的数据集,文档定义为图中的节点,文档间是否有引用关系定义为边。由词袋特征作为节点初始特征,任务是对节点进行分类。

pygcn/data/cora/ 下有两个文本文件

  • cora.cites 每行格式如:ID of cited paper \t ID of citing paper
  • cora.content 每行格式如:paper_id word_attributes class_label

加载上述两个文件,进行构图,得到归一化后的邻接矩阵、提取节点特征、label等

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def load_data(path="../data/cora/", dataset="cora"):
    """Load citation network dataset (cora only for now)"""
    print('Loading {} dataset...'.format(dataset))

    idx_features_labels = np.genfromtxt("{}{}.content".format(path, dataset),
                                        dtype=np.dtype(str))
    features = sp.csr_matrix(idx_features_labels[:, 1:-1], dtype=np.float32)
    labels = encode_onehot(idx_features_labels[:, -1])

    # build graph
    idx = np.array(idx_features_labels[:, 0], dtype=np.int32)
    
    ## 获得每个paper_id在cora.content中所在的行数
    idx_map = {j: i for i, j in enumerate(idx)} 
    edges_unordered = np.genfromtxt("{}{}.cites".format(path, dataset),
                                    dtype=np.int32)
                                    
 ## 将有连接的一对节点(paper_id在cora.content的行数)作为一行,生成一个np.array
    edges = np.array(list(map(idx_map.get, edges_unordered.flatten())),
                     dtype=np.int32).reshape(edges_unordered.shape)
    
    ## 邻接矩阵A,有边为1,反之为0
    adj = sp.coo_matrix((np.ones(edges.shape[0]), (edges[:, 0], edges[:, 1])),
                        shape=(labels.shape[0], labels.shape[0]),
                        dtype=np.float32)

    # 将有向边变成对称的无向边
    adj = adj + adj.T.multiply(adj.T > adj) - adj.multiply(adj.T > adj)
 
 ## 归一化
    features = normalize(features)
    adj = normalize(adj + sp.eye(adj.shape[0]))

    idx_train = range(140)
    idx_val = range(200, 500)
    idx_test = range(500, 1500)

    features = torch.FloatTensor(np.array(features.todense()))
    labels = torch.LongTensor(np.where(labels)[1])
    adj = sparse_mx_to_torch_sparse_tensor(adj)

    idx_train = torch.LongTensor(idx_train)
    idx_val = torch.LongTensor(idx_val)
    idx_test = torch.LongTensor(idx_test)

    return adj, features, labels, idx_train, idx_val, idx_test

def normalize(mx):
    """Row-normalize sparse matrix"""
    rowsum = np.array(mx.sum(1))
    r_inv = np.power(rowsum, -1).flatten()
    r_inv[np.isinf(r_inv)] = 0.
    r_mat_inv = sp.diags(r_inv)
    mx = r_mat_inv.dot(mx)
    return mx

显然上述的邻居矩阵的归一化为这种形式:

\overset{\sim}{D}^{-1}\overset{\sim}{A}

,而非

\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}\overset{\sim}{A}\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}

。矩阵的归一化有多种,在上面的实验分析部分也做了不同归一化的对比。因此在实际实验中,可进行尝试,选择效果较好的一种。

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class GCN(nn.Module):
    def __init__(self, nfeat, nhid, nclass, dropout):
        super(GCN, self).__init__()

        self.gc1 = GraphConvolution(nfeat, nhid)
        self.gc2 = GraphConvolution(nhid, nclass)
        self.dropout = dropout

    def forward(self, x, adj):
        x = F.relu(self.gc1(x, adj))
        x = F.dropout(x, self.dropout, training=self.training)
        x = self.gc2(x, adj)
        return F.log_softmax(x, dim=1)

上述的GCN代码就很简单的,就是叠加了两层卷积的网络,在实际训练时,网络的输入是

X

和归一化后的邻接矩阵

adj

,具体可再看这个卷积是怎么做的,代码如下:

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class GraphConvolution(Module):
    """
    Simple GCN layer, similar to https://arxiv.org/abs/1609.02907
    """

    def __init__(self, in_features, out_features, bias=True):
        super(GraphConvolution, self).__init__()
        self.in_features = in_features
        self.out_features = out_features
        self.weight = Parameter(torch.FloatTensor(in_features, out_features))
        if bias:
            self.bias = Parameter(torch.FloatTensor(out_features))
        else:
            self.register_parameter('bias', None)
        self.reset_parameters()

    def reset_parameters(self):
        stdv = 1. / math.sqrt(self.weight.size(1))
        self.weight.data.uniform_(-stdv, stdv)
        if self.bias is not None:
            self.bias.data.uniform_(-stdv, stdv)

    def forward(self, input, adj):
        support = torch.mm(input, self.weight)
        output = torch.spmm(adj, support)
        if self.bias is not None:
            return output + self.bias
        else:
            return output

    def __repr__(self):
        return self.__class__.__name__ + ' (' \
               + str(self.in_features) + ' -> ' \
               + str(self.out_features) + ')'

上面代码主要看forward部分即可,显然实现的就是

XW\hat{A}

操作而已。

个人总结

  • 本论文模型上的创新点主要有: 提出了在图上的快速卷积的模型(K=1),第二是提出了renormalization_trick
  • 在限制K=1时,大大限制了模型参数数量,同时可实现多层的叠加,当叠加l层时,可聚合节点自身及其l-hops的节点特征。叠加层数越大,卷积感受野越大。
  • 抛去繁杂的数学公式推导,感性理解本论文所提出的快速卷积,其实非常简单:
H^{(l+1)}= \sigma(\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}\overset{\sim}{A}\overset{\sim}{D}^{-\frac{1}{2}}H^{(l)}W^{(l)})

参考资料

[1]

paper: https://arxiv.org/pdf/1609.02907.pdf

[2]

pygcn: https://github.com/tkipf/pygcn

[3]

Convolutional Neural Networks on Graphs with Fast Localized Spectral Filtering: https://blog.csdn.net/Mr_tyting/article/details/108916787

[4]

Convolutional Neural Networks on Graphs with Fast Localized Spectral Filtering: https://blog.csdn.net/Mr_tyting/article/details/108916787

[5]

pygcn: https://github.com/tkipf/pygcn

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