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社区首页 >专栏 >扒一扒那些叫欧拉的定理们(八)——欧拉公式和自然对数的底e

扒一扒那些叫欧拉的定理们(八)——欧拉公式和自然对数的底e

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magic2728
发布于 2021-07-14 07:43:12
发布于 2021-07-14 07:43:12
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文章被收录于专栏:MatheMagicianMatheMagician

从今天开始,我们开始进入一个新的领域,也是欧拉他老爷子开创的,来看看复数领域的欧拉定理,以及欧拉公式里有着怎样的智慧。

欧拉公式——打开复数大门的钥匙

前面一边写着欧拉定理的内容,一边我就发现,这家伙不仅以自己名字命名了一堆欧拉定理,还有一堆欧拉公式。像前面的立体几何的欧拉定理的V - E + F = 2就是欧拉公式之一,后面还有经济学领域的欧拉公式等等,它们经常和定理组合着出现。不过一般情况下,都是欧拉定理更加著名,欧拉公式只是定理里公式的叫法而已。

但今天要讲的这个欧拉定理,其公式远比定理要声名在外,从我取的标题你就应该看出来了。物理学家理查德·费曼将欧拉公式称为:“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”,在各大“最美十大数学公式”的榜单中,也是以极简却又深刻的方式,和极为复杂的麦克斯韦方程组交相辉映。

欧拉公式内容如下:

e ^ ix = cosx + isinx,对任意复数x成立。

这个公式直接把复指数幂同三角函数联系了起来,其背后不知道是何方神圣在作法使得这公式惊艳地成立!特别地,取x = pi,有:

e ^ ipi + 1 = 0

此式称为欧拉恒等式

不过我们别被什么这是宇宙真理的公式,因为它包含了5个最重要的数学符号云云的文学化描述所诱导了,数学的美不在于这些无厘头的巧合,而在于对复杂事物深刻而简洁的抽象理解。接下来我们一点点抽丝剥茧,来看看这个公式背后,到底是哪些数学思想的汇集。

今天这一篇,我们先从这里最著名的,欧拉公式里出现的这个自然对数的底e来聊聊我的理解。

自然对数的底e的一点历史

e是一个著名的无理数,叫做自然对数的底(又称欧拉数,没错,又是他),其定义为:

e = lim(n -> infinite) (1 + 1 / n) ^ n

那为什么要这么定义,这里有什么历史故事呢?

第一次提到常数e,是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉·奥特雷德制作。第一次把e看为常数的是雅各布·伯努利,他尝试计算了上面那个式子在n变大时候的值。

已知的第一次用到常数e是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信,以表示。1727年欧拉开始用来表示这常数;而第一次在出版物用到,是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然往后有研究者用字母c表示,但e较常用,终于成为标准。

又看到了好多熟悉的名字,我好想和他们做朋友啊!

用e表示的原因确实不明,但可能因为是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称abcd有其他经常用途,而是第一个可用字母。但我隐隐约约有种感觉,照当年他几乎一统天下的态势,怕不是Euler同学觉得自己姓E,然后和其他的欧拉定理和公式一样,连一个常数符号也不放过,又在这里占山头吧!

每一项科学结论和习惯都不是一次就形成的,都体现了人类文明进步发展的过程。这些内容大体了解下就好了,我们接下来重点看看我们以现在的视角,可以从哪些角度来理解自然对数的底的e。

自然对数的底e的理解角度

角度1:利息模型

按照我们讲过的利息模型(利息浅谈(二)——利息到底是怎么算的?),e的物理意义就是理想复利在一个利息周期内的本息和在原始收益率为1时候的值,函数f(x) = e ^ x - 1即为对应单利在一个周期内的利息率和理想复利下的等效利率的关系。当然这个一般也作为我们在高中阶段去理解e的主流方式,它也直接和最原始的定义十分契合。

角度2:微分方程的解

其实它还有很多在其他模型中被使用的等效定义,比如在微分方程中,我们假定一个对象未知的变化速度和其位置坐标相等,且初始位置为1,即:

df(t) / dt = f(t), f(0) = 1

我们想有这样一个函数满足这样的性质,根据导数的定义,指数函数的形式刚好满足速度和位置的比例关系:

dx ^ t / dt = lim(dt -> 0) ((x ^ (t + dt) - x ^ t) / dt

= lim(dt -> 0)x ^ t(x ^ dt - 1) / dt

= x ^ t * lim(dt -> 0)(x ^ dt - 1) / dt

令y = x ^ dt - 1, 则dt = log_x(1 + y),于是

d x ^ t / dt = x ^ t * lim(y -> 0)y / log_x(1 + y)

= x ^ t * lim(y -> 0)1 / (log_x(1 + y) ^ (1 / y))

= x ^ t * lim(y -> 0) 1 / log_x e

= x ^ t ln x

而且,其比例系数为ln x,当且仅当x = lim(y -> 0)(1 + y) ^ (1 / y) = e的时候,其比例系数为1。

我们常说的e是自然对数的底,其实就是指的上面那个log的底x,当它为e的时候,对应的指数函数的增长速度刚好和其值的比值为1,也就是相等。

角度3:泰勒展开式

另外,从泰勒级数的角度,因为有e ^ x的任意阶次的导数都是其自身,等价于一个以1为周期的常数结果,因此,a = 0处作泰勒展开,指数函数也可以定义为:

e ^ x = sum(n = 0:infinite)x ^ n / n!

在实际的泰勒展开式中,右侧其实是一个极限表达式,根据泰勒定理,是需要加上一个无穷小量o(x ^ n)才成立的,也因此一般的泰勒展开式成立也是有级数的收敛半径的,比如等比数列对应的几何级数,收敛半径就是1,否则级数发散而没有意义。直观上说,如果x的绝对值不小于1,那这个近似表达是没有意义的。但是根据斯特林公式,当n -> infinite,x ^ n / n! -> 0,因此,从数值意义上,其值越来越逼近真实的e ^ x也没有什么问题。

很多证明欧拉公式的方法,就是采用泰勒展开式,展开sinx和cosx的级数,按照对应公式加起来便能够验证相等,不过这样的证明并不算严格,只能算一种对理解的辅助手段罢了。

以上是自然对数的底e的来由,其相关的一些有趣的数学内容还包括如证明它是无理数以及用各种花式的微积分表达式来表示或等效定义它的方法,有兴趣的同学可以进一步查阅资料了解。我们这里仅选取了和我们接下来要讲的欧拉公式有关的部分作了介绍,作为一个前置铺垫,下一讲开始,我们会从现代数学的观点,进一步剖析欧拉定理,敬请期待!

我们是谁:

MatheMagician,中文“数学魔术师”,原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义,也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网,计算机,统计,算法,NLP等前沿的数学及应用领域;也包括魔术思想,流程鉴赏等魔术内容;以及结合二者的数学魔术分享,还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起,既能感性思考又保持理性思维,享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流!

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