坐标系与矩阵(3):平移

本章主要介绍平移，平移本身非常的直白，比如一点

，平移

，则平移后的位置是

。如果在平移前考虑旋转，结合前两篇的内容，很容易得到如下公式：

这里，就有一个线性变换的概念：变换后直线不变，比例不变，原点不变。不难看出，红色矩阵部分是绕原点旋转，满足线性变换的条件。但平移后原点发生的变化，并不是线性变换。这里我们称其为仿射变换(Affine transformation)：线性变换+平移。

数学之美，其中之一就是希望达到形式上的统一。而齐次坐标，则实现了将仿射变换转为线性变换的形式：

这里，我们将一个2*2的矩阵升级为3*3的矩阵，这里要强调的是该矩阵是先旋转再平移，每个点扩增一个

位，竟然将平移从非线性变成线性的关系，将旋转和平移统一在一个矩阵中，如此的神奇，这是为什么呢？

从几何的角度，这里可以认为新增了一个维度

，当旋转时，每一个点都相对

旋转，自然中心点不变，而平移时，因为新增维度

的值为1，则相当于该平面上升到

的平面，然后在该平面上实现了平移，而整体上则类似比萨斜塔那般，依旧相对于原点不变。这样，我们新增一个维度，通过高维度的线性变换实现低维度的仿射变换。下图描述了该过程。

这样，对于一个point，对应的齐次坐标为

，而一个vector，对应的齐次坐标为

：

这样，既能满足向量的平移不变性，也能保证两点相减为向量，唯一特别处是两点相加，对应的是两点的中点，这个几何意义。

这样，可得平移矩阵：

我们将旋转和平移组合在一起，假设初始位置

可得：

例子1：

点p绕正方向左下角点

后的点

这里，提供两种思路。通常二维场景下，我们会把B移到O点

，然后旋转

，最后再移动回B点

，因此对应的解为：

另一个思路则是默认

，则M从O平移到B，然后绕

旋转，此时A相对于M坐标系的位置记为

：

而

是M从O平移到B时的相对位置：

前者是坐标点的移动，而后者是坐标系的移动，不同的思路，但最终的矩阵都是一致的。

坐标系和矩阵的基本概念介绍完毕，下一篇我们对应具体的应用场景，首先，先从GIS中大地坐标系和NEU这类的平面坐标系的转换开始吧。

参考资料（上一篇忘记引入参考资料了）：Motion and Manipulation https://www.cs.uu.nl/docs/vakken/moma/2019.html

GAMES101: https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=3

如何通俗地讲解「仿射变换」这个概念：

https://www.zhihu.com/question/20666664/answer/157400568

google drive上共享了pdf原版，有兴趣的可以下载下来看。

drive：https://drive.google.com/drive/folders/1Tp_zDNkY4OuhJ3bagE8qD6N0eX6jU8pm?usp=sharing