Python数学建模系列（一）：规划问题之线性规划

海轰Pro

发布于 2021-08-31 09:04:51

1.6K00

代码可运行

文章被收录于专栏：海轰轰的学习笔记海轰轰的学习笔记

运行总次数：0

代码可运行

前言

Hello！小伙伴！非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰标签：程序猿｜C++选手｜学生简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！初学Python 小白阶段文章仅作为自己的学习笔记用于知识体系建立以及复习题不在多学一题懂一题知其然知其所以然！本文仅从Pyhton如何解决建模问题出发未对建模思路等进行深一步探索

线性规划

线性规划求解需要清晰两部分，目标函数(max, min) 和约束条件，求解前应转化为标准形式：

样例1：求解下列线性规划问题

\[max z = 2x_1 + 3x_2 - 5x_3 \]

\[ s.t. = \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 7 \\ 2x_1 - 5x_2 + x_3 >= 10\\ x_1 + 3x_2 + x_3 <= 12\\ x_1,x_2,x_3 >= 0 \end{cases} \]

scipy库求解

涉及知识点

optimize.linprog

Demo代码

from scipy import optimize
import numpy as np
c = np.array([2,3,-5])
A = np.array([[-2,5,-1],[1,3,1]])
B = np.array([-10,12])
Aeq = np.array([[1,1,1]])
Beq = np.array([7])
res = optimize.linprog(-c,A,B,Aeq,Beq)
res

运行结果

注：x结果为array数组，从左到右依次表示x1 x2 x3....

对很大/小的数不使用科学计数法 np.set_printoptions(suppress=True)

Demo代码

from scipy import optimize
import numpy as np
np.set_printoptions(suppress=True)
c = np.array([2,3,-5])
A = np.array([[-2,5,-1],[1,3,1]])
B = np.array([-10,12])
Aeq = np.array([[1,1,1]])
Beq = np.array([7])
res = optimize.linprog(-c,A,B,Aeq,Beq)
res

运行结果

样例2：求解下列线性规划问题

pulp库求解

设计知识点

LpProblem(name='NoName', sense=LpMinimize)
solve(solver=None, **kwargs)
LpVariable(name, lowBound=None, upBound=None, cat='Continuous', e=None)

Demo代码

import pulp as pp

# 目标函数的系数
z = [2, 3, 1]
a = [[1, 4, 2], [3, 2, 0]]
b = [8,6]
aeq = [[1,2,4]]
beq = [101]

# 确定最大最小化问题，当前确定的是最大化问题
m = pp.LpProblem(sense=pp.LpMaximize)

# 定义三个变量放到列表中
x = [pp.LpVariable(f'x{i}', lowBound=0) for i in [1, 2, 3]]

# 定义目标函数，并将目标函数加入求解的问题中
m += pp.lpDot(z, x) # lpDot 用于计算点积

# 设置比较条件
for i in range(len(a)):
    m += (pp.lpDot(a[i], x) >= b[i])

# 设置相等条件
for i in range(len(aeq)):
    m += (pp.lpDot(aeq[i], x) == beq[i])

# 求解
m.solve()
# 输出结果
print(f'优化结果：{pp.value(m.objective)}')
print(f'参数取值：{[pp.value(var) for var in x]}')

运行结果：

注：

最优结果为202
x1 = 101 x2=0 x3=0

样例3.运输问题

Demo代码

import pulp
import numpy as np
from pprint import pprint

def transportation_problem(costs, x_max, y_max):
    row = len(costs)
    col = len(costs[0])
    prob = pulp.LpProblem('Transportation Proble',sense=pulp.LpMaximize)
    var = [[pulp.LpVariable(f'x{i}{j}',lowBound=0,cat=pulp.LpInteger) for j in range(col)] for i in range(row)]
    # 转为一维
    flatten = lambda x:[y for l in x for y in flatten(l)] if type(x) is list else [x]
    prob += pulp.lpDot(flatten(var),costs.flatten())
    for i in range(row):
        prob += (pulp.lpSum(var[i]) <= x_max[i])
    for j in range(col):
        prob += (pulp.lpSum([var[i][j] for i in range(row)]) <= y_max[j])
    prob.solve()
    return {'objective':pulp.value(prob.objective),'var':[[pulp.value(var[i][j]) for j in range(col)] for i in range(row)]}

costs = np.array([[500,550,630,1000,800,700],
                [800,700,600,950,900,930],
                [1000,960,840,650,600,700],
                [1200,1040,980,860,880,780]])
max_plant = [76,88,96,40]
max_cultivation = [42,56,44,39,60,59]
res = transportation_problem(costs, max_plant, max_cultivation)
print(f'最大值为{res["objective"]}')
print("各个变量的取值为：")
pprint(res['var'])