文章/答案/技术大牛

发布

社区首页 >专栏 >时间序列算法(二)——相空间重构理论

时间序列算法(二)——相空间重构理论

用户7506105

发布于 2021-09-27 02:49:55

7.6K0

文章被收录于专栏：碎片学习录碎片学习录

在时间序列问题的一般场景中，都是通过在时间域或者时域与频域的变换中进行研究的，而有一类时间序列本身是在确定系统中出现的无规则的运动极具混沌特性的时间序列(混沌的含义是混乱而没有秩序的状态)，这个混沌现象是广泛存在的，因为很多后续变化都是对初值敏感，而且虽然整个过程中表面无规则但是实际上是可以通过一些动力学模型预测的。对于这一类混沌时间序列的问题(包括模型建立和预测)在现存的理论中是在相空间进行研究的，所以自然而然相空间重构是处理混沌时间序列中非常重要的过程

(上帝的指纹-分形与混沌)

相空间重构

重构的目的是为了挖掘整个时间序列更多的信息(包括相关性和动力学特性等)，找到与原始系统在某种意义上等价的另一个新系统

坐标延迟法

除此之外还有一种是导数重构法，但导数重构中会进行微分操作，对误差=敏感且需要知道一些先验信息，所以一般不采用

本质是通过给定的一维时间序列{x(i)}(

i \in [1, n]

$i \in [1,n]$

)的不同时间延迟来构建m维相空间矢量，即

\to x (i) = (x (i), x (i + τ), . . ., x (i + (m - 1) τ))

$\vec{x}(i) = (x(i), x(i+\tau),...,x(i+(m-1)\tau))$

如此就将第i个序列值构建成了m维向量，其中

τ

$\tau$

为延迟时间，且

i \in [1, n - (m - 1) τ]

$i \in [1, n - (m - 1) \tau]$

，所以n个这样的序列值就可以构成一个n*m的矩阵相空间

注：这里是一维时间序列构成的相空间

引入学者Takens等人提出的嵌入定理，即对于一个无限长，无噪声且有d维的混沌时间序列(其中有个概念是吸引子，一个系统如果有朝某个稳态发展的趋势，那这个稳态就叫做吸引子)，总可以在拓扑不变(即具有相同的内秉性，比如图之间的连通性不随图的大小、体积等可观测量度的变化而变化，具体概念可见拓扑学课本)的意义上找到一个m维的嵌入相空间，且这里的新相空间的维数满足

m >= 2 d + 1

$m >= 2d+1$

。嵌入定理的深层含义即从理论上保证了我们可以从指定维度的混沌时间序列中重构一个与原动力系统在拓扑意义下等价的相空间，由前文所述因为混沌时间序列的一些模型建立、分析、预测等过程都是在相空间中进行的，所以这个嵌入定理是进行相空间重构的理论基础。

由坐标延迟法可以看出，有两个参数需要确定，一个是延迟时间

τ

$\tau$

，一个是嵌入的相空间维数m，而在嵌入定理中，只是证明了嵌入维数和延迟时间的存在性，而并没有给出具体的表达式，而且实际应用中时间序列都是有噪声的有限序列(无噪声的序列嵌入维m和延迟时间

τ

$\tau$

可以取任意值)，所以嵌入维数和时间延迟必须要根据实际的情况来选取合适的值，不然会影响重构的相空间的质量

混沌不变量有关联维数，Lyapunov 指数等，它是这里所谓内秉性的一些量度，即重构后尽量不发生变化的一些变量

建模预测过程

通过以上的解释，考虑一个混沌时间序列

{x (i) | i \in [1, n]}

$\{ x(i) | i \in [1,n]\}$

,将其相空间重构为

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} _{1} = \to x (1) = (x (1), x (1 + τ), . . ., x (1 + (m - 1) τ))_{2} = \to x (2) = (x (2), x (2 + τ), . . ., x (2 + (m - 1) τ)) . . . . . ._{i} = \to x (i) = (x (i), x (i + τ), . . ., x (i + (m - 1) τ)) . . . . . ._{n - (m - 1) τ} = \to x [n - (m - 1) τ] = {x [n - (m - 1) τ], . . ., x (n)} \end{matrix}

$\begin{cases} \vec{y_{1}} = \vec{x}(1) = (x(1), x(1+\tau),...,x(1+(m-1)\tau)) \\ \vec{y_{2}} = \vec{x}(2) = (x(2), x(2+\tau),...,x(2+(m-1)\tau)) \\ ......\\ \vec{y_{i}} =\vec{x}(i) = (x(i), x(i+\tau),...,x(i+(m-1)\tau)) \\ ......\\ \vec{y_{n - (m-1) \tau}} = \vec{x}[n - (m-1) \tau] = \{x[n - (m-1) \tau],...,x(n)\} \end{cases}$

这样我们就可以在嵌入维数为m的欧式空间建立动力系统模型为

_{i + 1} = \to x (i + 1) = F (\to x (i)) = F (_{i})

$\vec{y_{i+1}} = \vec{x}(i+1) = F(\vec{x}(i)) = F(\vec{y_i})$

F可以由最小二乘法、神经网络、小波分析等方法训练出

假设

N = n - (m - 1) τ

$N = n-(m-1)\tau$

，则有

{\to y}_{N} (m) = (x (N), . . ., x (n))

$\vec{y}_N(m) = (x(N),...,x(n))$

，则采用最小二乘法可以变成

^\to x (i + 1) = c_{0} x (N) + c_{1} x (N + τ) + . . .

$\hat{\vec{x}}(i+1) = c_0 x(N) + c_1 x(N+\tau) + ...$

+ c_{m - 1} [N + (m - 1) τ] + c_{d}

$+c_{m-1}[N+(m-1)\tau] +c_d$

此时的

c_{i}

$c_i$

已经计算出，故此时的预测值就确定了，也就是每一次时间点的最小二乘函数或者其他模型训练出来的函数的参数都可能不一致，因为从上面那个方程组可以看到时间越长越是采用的不相关的x进行的训练，从而体现了混沌系统的特性和相空间的优势所在。

总结

相空间重构对气象数据、通信、经济学等领域非常有用武之地，笔者曾经在一个研究气象污染物系统预报的实习项目中就用到了该方法，当时采用的是相空间重构构建数据分布+bp神经网络算法训练函数F和遗传算法进行特征选取的技术方案，最后使得预测误差较小，得到了当时公司技术大牛的认可，所以在有混沌序列的应用场景，条件反射地想到重构相空间不失为一个非常好的数据处理思路！