【区间求和问题】差分入门模板题
【区间求和问题】差分入门模板题
题目描述
这是 LeetCode 上的「1109. 航班预订统计」，难度为「中等」。
Tag : 「区间求和问题」、「差分」、「线段树」
这里有 n 个航班，它们分别从 1 到 n 进行编号。
有一份航班预订表 bookings，表中第 i 条预订记录 bookings[i] = [first_i, last_i, seats_i] 意味着在从first_i 到 last_i （包含 first_i 和 last_i ）的 每个航班 上预订了 seats_i 个座位。
请你返回一个长度为 n 的数组 answer，其中 answer[i] 是航班 i 上预订的座位总数。
示例 1：
输入：bookings = [[1,2,10],[2,3,20],[2,5,25]], n = 5
输出：[10,55,45,25,25]
解释：
航班编号 1 2 3 4 5
预订记录 1 ： 10 10
预订记录 2 ： 20 20
预订记录 3 ： 25 25 25 25
总座位数： 10 55 45 25 25
因此，answer = [10,55,45,25,25]
示例 2：
输入：bookings = [[1,2,10],[2,2,15]], n = 2
输出：[10,25]
解释：
航班编号 1 2
预订记录 1 ： 10 10
预订记录 2 ： 15
总座位数： 10 25
因此，answer = [10,25]
提示：
- 1 <= n <= 2 * 10^4
- 1 <= bookings.length <= 2 * 10^4
- bookings[i].length == 3
- 1 <= first_i <= last_i <= n
- 1 <= seats_i <= 10^4
基本分析
本题只涉及「区间修改 + 单点查询」，属于「区间求和」问题中的入门难度。
此处可以再总结一下（加粗字体为最佳方案）：
- 数组不变，区间查询：前缀和、树状数组、线段树；
- 数组单点修改，区间查询：树状数组、线段树；
- 数组区间修改，单点查询：差分、线段树；
- 数组区间修改，区间查询：线段树。
注意：上述总结是对于一般性而言的（能直接解决的），对标的是模板问题。但存在经过一些经过“额外”操作，对问题进行转化，从而使用别的解决方案求解的情况。
例如某些问题，我们可以先对原数组进行差分，然后使用树状数组，也能解决区间修改问题。
或者使用多个树状数组来维护多个指标，从而实现类似线段树的持久化标记操作。
但这些不属于一般性，所以就不添加到总结中了。
差分
本题只涉及「区间修改 + 单点查询」，因此是一道「差分」的模板题。
「差分」可以看做是求「前缀和」的逆向过程。
对于一个「将区间 [l, r] 整体增加一个值 v 」操作，我们可以对差分数组 c 的影响看成两部分：
- 对 c[l] += v ：由于差分是前缀和的逆向过程，这个操作对于将来的查询而言，带来的影响是对于所有的下标大于等于 l 的位置都增加了值 v ；
- 对 c[r + 1] -= v ：由于我们期望只对 [l, r] 产生影响，因此需要对下标大于 r 的位置进行减值操作，从而抵消“影响”。
对于最后的构造答案，可看做是对每个下标做“单点查询”操作，只需要对差分数组求前缀和即可。
代码：
class Solution {
public int[] corpFlightBookings(int[][] bs, int n) {
int[] c = new int[n + 1];
for (int[] bo : bs) {
int l = bo[0] - 1, r = bo[1] - 1, v = bo[2];
c[l] += v;
c[r + 1] -= v;
}
int[] ans = new int[n];
ans[0] = c[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
ans[i] = ans[i - 1] + c[i];
}
return ans;
}
}
- 时间复杂度：令
bs长度为 m ，预处理差分数组的复杂度为 O(m) ；构造答案复杂度为 O(n) 。整体复杂度为O(m + n) - 空间复杂度：O(n)
线段树
在「基本分析」中，我们发现几乎所有的「区间求和」问题都可以使用线段树解决。
那么是否无脑写线段树呢？答案并不是，恰好相反。
线段树代码很长，且常数很大，实际表现不算很好。只有不得不写「线段树」的时候，我们才考虑线段树。
回到本题，由于涉及「区间修改」操作，因此我们需要对线段树进行持久化标记（懒标记），从而确保操作仍为 \log 级别的复杂度。
代码：
class Solution {
class Node {
int l, r, v, add;
Node(int _l, int _r) {
l = _l; r = _r;
}
}
int N = 20009;
Node[] tr = new Node[N * 4];
void pushup(int u) {
tr[u].v = tr[u << 1].v + tr[u << 1 | 1].v;
}
void pushdown(int u) {
int add = tr[u].add;
tr[u << 1].v += add;
tr[u << 1].add += add;
tr[u << 1 | 1].v += add;
tr[u << 1 | 1].add += add;
tr[u].add = 0;
}
void build(int u, int l, int r) {
tr[u] = new Node(l, r);
if (l != r) {
int mid = l + r >> 1;
build(u << 1, l, mid);
build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
}
}
void update(int u, int l, int r, int v) {
if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) {
tr[u].v += v;
tr[u].add += v;
} else {
pushdown(u);
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
if (l <= mid) update(u << 1, l, r, v);
if (r > mid) update(u << 1 | 1, l, r, v);
pushup(u);
}
}
int query(int u, int l, int r) {
if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) {
return tr[u].v;
} else {
pushdown(u);
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
int ans = 0;
if (l <= mid) ans += query(u << 1, l, r);
if (r > mid) ans += query(u << 1 | 1, l, r);
return ans;
}
}
public int[] corpFlightBookings(int[][] bs, int n) {
build(1, 1, n);
for (int[] bo : bs) {
update(1, bo[0], bo[1], bo[2]);
}
int[] ans = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
ans[i] = query(1, i + 1, i + 1);
}
return ans;
}
}
- 时间复杂度：线段树建树复杂度为 O(n) ，其余操作复杂度为 O(\log{n}) 。对于本题，令
bs长度为 m ，整体复杂度为O(m\log{n} + n\log{n}) - 空间复杂度：O(n)
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1109 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
腾讯云开发者
