自动驾驶运动规划(Motion Planning)-车辆运动学模型

要控制车辆的运动，首先要对车辆的运动建立数字化模型，模型建立的越准确，对车辆运动的描述越准确，对车辆的跟踪控制的效果就越好。除了真实反映车辆特性外，建立的模型也应该尽可能的简单易用。自行车模型(Bicycle Model)是一种常见的车辆运动学模型。

自行车模型(Bicycle Model)的建立基于如下假设:

1）不考虑车辆在垂直方向(Z轴方向)的运动，即假设车辆的运动是一个二维平面上的运动。

2) 假设车辆左右侧轮胎在任意时刻都拥有相同的转向角度和转速；这样车辆的左右两个轮胎的运动可以合并为一个轮胎来描述。

3）假设车辆行驶速度变化缓慢，忽略前后轴载荷的转移。

4) 假设车身和悬架系统都是刚性系统。

5）假设车辆的运动和转向是由前轮驱动(front−wheel−only)的。

1、以后轴为原点的车辆运动模型

自动驾驶中的车辆模型可以简化为二维平面上运动的刚体结构，任意时刻车辆的状态

，车辆坐标的原点位于后轴的中心位置，坐标轴与车身平行。s表示车辆的速度，

表示steering angle(左为正，右为负)，L表示前轮和后轮的距离，如果steering angle保持

不变，车辆就会在原地转圈，半径为

。

车辆运动模型:

在一个非常短的时间

内，可以近似认为车辆按照车身的方向运动，

、

表示在

时间内车辆在x轴、y轴移动的距离。

由

可以推出:

用

表示

时间内车身运动的距离，于是由

可以推出:

对等式两侧除以

，并且基于

的条件可以最终得到等式:

至此一个简化的非完整约束的车辆运动模型完成了，汇总如下:

基于这个简单的运动学模型，在给定了某个时刻的控制输入

以后，我们就可以估算车辆在下一时刻的状态信息(坐标，偏航角以及速度)。

2、以质心为中心的车辆运动学模型

其中A点是前轮，B是后轮，C为车辆质心点，O为OA、OB的交点，是车辆的瞬时滚动中心，线段OA、OB分别垂直于两个滚动轮的方向；

为滑移角(Tire Slip Angle)，指车辆行进方向和轮圈所指方向两者间所成的角度；

为航向角(Heading Angle)，指车身与X轴的夹角。

展开公式(1.1)(1.2)可得：

联立公式(1.3)(1.4)可得：

低速环境下，车辆行驶路径的转弯半径变化缓慢，此时我们可以假设车辆的方向变化率等于车辆的角速度。则车辆的角速度为:

联立公式(1.5)(1.6)可得：

则在惯性坐标系XY下，可得车辆运动学模型:

此模型中有三个输入：

滑移角可由公式(1.3)(1.4)求得：

作为一种自行车模型，运动学自行车模型也假定车辆形如一辆自行车，整个的控制量可以简化为

，其中a是车辆的加速度，踩油门踏板意味着正的加速度；踩刹车踏板意味着负的加速度；

是方向盘转角。

前轮驱动的车辆运动模型

当车辆为前轮驱动(front−wheel−only)时，可假设

恒为0，同时由于我们假设汽车是前轮驱动的，所以我们认为方向盘的转角就等于前轮的转角。此时，车辆运动学公式如下:

3、阿克曼转向几何(Ackerman turning geometry)

阿克曼转向几何(Ackerman Turning Geometry)是一种为了解决交通工具转弯时，内外转向轮路径指向的圆心不同的几何学。

在单车模型中，将转向时左/右前轮偏角假设为同一角度，虽然通常两个角度大致相等，但实际并不是，通常情况下，内侧轮胎转角更大。如下图所示。

阿克曼转向几何

和

分别为外侧前轮和内侧前轮偏角，当车辆右转时，右前轮胎为内侧轮胎，其转角

较左前轮胎转角

更大。

为轮距，L为轴距，后轮两轮胎转角始终为0°。当以后轴中心为参考点时，图中红线为转向半径R。

因此，两个前轮的转向角的差异

与平均转向角

的平方成正比。

依据阿克曼转向几何设计的车辆，沿着弯道转弯时，利用四连杆的相等曲柄使内侧轮的转向角比外侧轮大大约2~4度，使四个轮子路径的圆心大致上交会于后轴的延长线上瞬时转向中心，让车辆可以顺畅的转弯。

参考链接

本文主要整理自以下文章：

无人驾驶汽车系统入门（五）——运动学自行车模型和动力学自行车模型

Apollo代码学习(二)—车辆运动学模型

Kinematic and Dynamic Vehicle Models for Autonomous Driving Control Design