【平面解析几何】直线方程的表示形式

攻城狮杰森

发布于 2022-06-03 05:44:35

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刷算法题过程中遇到了平面解析几何中，直线方程的相关知识点，正好来复习下吧

1.一般式

适用于所有直线

A_{x} + B_{y} + C = 0 (A^{2} + B^{2} \neq 0)

$\large A_{x}+B_{y}+C=0(\large A^{2}+B^{2}\neq 0)$

其中，斜率

K = - \frac{A}{B}

$\large K=-\frac{A}{B}$

横、纵截距

a = - \frac{A}{C}, b = - \frac{C}{B}

$\large a=-\frac{A}{C},\large b=-\frac{C}{B}$

并且有两直线平行

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} \neq \frac{C_{1}}{C_{2}}

$\large \frac{A_{1}}{A_{2}}= \frac{B_{1}}{B_{2}}\neq \frac{C_{1}}{C_{2}}$

两直线重合

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}

$\large \frac{A_{1}}{A_{2}}= \frac{B_{1}}{B_{2}}= \frac{C_{1}}{C_{2}}$

2.点斜式

适用于不垂直于 $\large x$ 轴的直线

y - y_{0} = k (x - x_{0})

$\large y-y_{0}=k\left ( x-x_{0} \right )$

表示过定点 $\large P\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 斜率为 $\large k$ 的直线

3.截距式

适用于不过原点或不垂直于 $\large x$ 轴、 $\large y$ 轴的直线

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

$\large \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

表示与 $\large x$ 轴、 $\large y$ 轴相交，且与 $\large x$ 轴截距为 $\large a$ 、与 $\large y$ 轴截距为 $\large b$ 的直线

4.斜截式

适用于不垂直于 $\large x$ 轴的直线 $\large y=kx+b$

表示斜率为 $\large k$ ，且与 $y$ 轴截距为 $\large b$ 的直线

5.两点式

适用于不垂直于 $\large x$ 轴、 $\large y$ 轴的直线

\frac{(y - y_{1})}{(y_{2} - y_{1})} = \frac{(x - x_{1})}{(x_{2} - x_{1})} (x_{1} \neq x_{2}, y_{1} \neq y_{2})

$\frac{\left ( y-y_{1} \right )}{\left ( y_{2}-y_{1} \right )}=\frac{\left ( x-x_{1} \right )}{\left ( x_{2}-x_{1} \right )}\large \left ( x_{1}\neq x_{2},y_{1}\neq y_{2} \right )$

表示过点

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})

$\large \left ( x_{1},y_{1} \right ),\left ( x_{2},y_{2} \right )$

的直线

6.点向式

适用于所有直线

\frac{(x - x_{0})}{u} = \frac{(y - y_{0})}{v} (u \neq 0, v \neq 0)

$\large \frac{\left ( x-x_{0} \right )}{u}=\frac{\left ( y-y_{0} \right )}{v}\left ( u\neq 0,v\neq 0 \right )$

表示过定点 $\large P\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 且方向向量为 $\large \left ( u,v \right )$ 的直线

7.交点式

适用于所有直线

f_{1} (x, y) * m + f_{2} (x, y) = 0

$\large f_{1}\left ( x,y \right )*m+f_{2}\left ( x,y \right )=0$

表示过两直线

$\large \left\{\begin{matrix} \large f_{1}\left ( x,y \right )=0\\ \large f_{2}\left ( x,y \right )=0 \end{matrix}\right.$

的交点的直线

8.法线式

适用于不平行于坐标轴的直线

$\large x\cdot cos \alpha +y\cdot sin \alpha -p=0$

经过原点向已知直线做一条垂线段，垂线段所在直线倾角为 $\large \alpha$ ，线段长度为 $\large p$ ，表示过定点 $\large P\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 且方向向量为 $\large \left ( u,v \right )$

9.法向式

适用于所有直线

$\large \left ( x-x_{0} \right )+b\left ( y-y_{0} \right )=0$

表示经过定点

$\large P\left ( x_{0},y_{0} \right )$

且与向量

$\large \left ( a,b \right )$

垂直的直线

10.点平式

适用于所有直线

$\large f\left ( x,y \right )-f\left ( x_{0}-y_{0} \right )=0$

表示过点

$\large \left ( x_{0},y_{0} \right )$

且与直线

$\large f \left ( x,y \right )=0$

平行的直线

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