漫画：什么是时间复杂度？

小灰

发布于 2022-07-05 15:49:55

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发布于 2022-07-05 15:49:55

文章被收录于专栏：程序员小灰

时间复杂度的意义

究竟什么是时间复杂度呢？让我们来想象一个场景：

某一天，小灰和大黄同时加入了一个公司......

一天过后，小灰和大黄各自交付了代码，两端代码实现的功能都差不多。

大黄的代码运行一次要花100毫秒，内存占用5MB。

小灰的代码运行一次要花100秒，内存占用500MB。

于是......

由此可见，衡量代码的好坏包括两个非常重要的指标：

1.运行时间

2.占用空间

基本操作执行次数

关于代码的基本操作执行次数，我们用四个生活中的场景来做一下比喻：

场景1. 给小灰一条长10寸的面包，小灰每3天吃掉1寸，那么吃掉整个面包需要几天？

答案自然是 3 X 10 = 30天。

如果面包的长度是 N 寸呢？

此时吃掉整个面包，需要 3 X n = 3n 天。

如果用一个函数来表达这个相对时间，可以记作 T（n） = 3n。

场景2. 给小灰一条长16寸的面包，小灰每5天吃掉面包剩余长度的一半，第一次吃掉8寸，第二次吃掉4寸，第三次吃掉2寸......那么小灰把面包吃得只剩下1寸，需要多少天呢？

这个问题翻译一下，就是数字16不断地除以2，除几次以后的结果等于1？这里要涉及到数学当中的对数，以2位底，16的对数，可以简写为log16。

因此，把面包吃得只剩下1寸，需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。

如果面包的长度是 N 寸呢？

需要 5 X logn = 5logn天，记作 T（n） = 5logn。

场景3. 给小灰一条长10寸的面包和一个鸡腿，小灰每2天吃掉一个鸡腿。那么小灰吃掉整个鸡腿需要多少天呢？

答案自然是2天。因为只说是吃掉鸡腿，和10寸的面包没有关系。

如果面包的长度是 N 寸呢？

无论面包有多长，吃掉鸡腿的时间仍然是2天，记作 T（n） = 2。

场景4. 给小灰一条长10寸的面包，小灰吃掉第一个一寸需要1天时间，吃掉第二个一寸需要2天时间，吃掉第三个一寸需要3天时间.....每多吃一寸，所花的时间也多一天。那么小灰吃掉整个面包需要多少天呢？

答案是从1累加到10的总和，也就是55天。

如果面包的长度是 N 寸呢？

此时吃掉整个面包，需要 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。

记作 T（n） = 0.5n^2 + 0.5n。

上面所讲的是吃东西所花费的相对时间，这一思想同样适用于对程序基本操作执行次数的统计。刚才的四个场景，分别对应了程序中最常见的四种执行方式：

场景1， T（n） = 3n，执行次数是线性的。

void eat1(int n){
    for(int i=0; i<n; i++){;
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("吃一寸面包");
    }
}
vo

场景2， T（n） = 5logn，执行次数是对数的。

void eat2(int n){
    for(int i=1; i<n; i*=2){
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("吃一半面包");
    }
}

场景3，T（n） = 2，执行次数是常量的。

void eat3(int n){
    System.out.println("等待一天");
    System.out.println("吃一个鸡腿");
}

场景4，T（n） = 0.5n^2 + 0.5n，执行次数是一个多项式。

void eat4(int n){
    for(int i=0; i<n; i++){
        for(int j=0; j<i; j++){
            System.out.println("等待一天");
        }
        System.out.println("吃一寸面包");
    }
}

渐进时间复杂度

有了基本操作执行次数的函数 T（n），是否就可以分析和比较一段代码的运行时间了呢？还是有一定的困难。

比如算法A的相对时间是T（n）= 100n，算法B的相对时间是T（n）= 5n^2，这两个到底谁的运行时间更长一些？这就要看n的取值了。

所以，这时候有了渐进时间复杂度（asymptotic time complectiy）的概念，官方的定义如下：

若存在函数 f（n），使得当n趋近于无穷大时，T（n）/ f（n）的极限值为不等于零的常数，则称 f（n）是T（n）的同数量级函数。

记作 T（n）= O（f（n）），称O（f（n））为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

渐进时间复杂度用大写O来表示，所以也被称为大O表示法。