几道抛硬币问题

只是记录一下遇到的几道抛硬币的概率问题。

1、平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续的两个正面？

假设连续两个正面的期望是 E，那么，先看第一次抛硬币：

1. 如果抛到反面，那么还期望抛 E 次，因为抛到反面完全没用，总数就期望抛 E+1
2. 如果抛到正面，那么要看下一次，如果下一次也是正面，那抛硬币就结束了，总数是 2；如果下一次是反面，那么相当于重头来过，总数就期望抛 E+2

于是可以得到如下关系式：

E = 0.5(E+1) + 0.25*2 + 0.25(E+2)

得到所求期望 E=6

现在把题目拓展，不是说 “连续两个正面”，而是 “连续 n 个正面” 呢？

这个问题 Matrix67 有非常有趣的解答 《用数学解赌博问题不稀奇，用赌博解数学问题才牛 B》，下面我简述一下：

假设有一个赌场，赌博的方式就是猜正反，每来一个玩家来的时候都只带了 1 元，每次都会全部下注，然后赌正面，庄家抛硬币，如果猜错就是全部输掉，如果赢了就得到下注的两倍，玩家会一直玩一直玩直到钱输光；而赌场老板会看，如果有人赢到 2^n 元，就下令关闭赌场。

于是直到 n 次正面朝上的情况发生，赌场关闭，只有最后那 n 个人才赚到了钱，最后一人得到了 2 元（没算成本价 1 元），倒数第二人是 4 元……倒数第 n 人是 2^n 元，所以，一共得到（等比数列求和）：

2+4+8+…+2^n = 2*(1-2^n)/(1-2) = 2^(n+1) – 2

赌场有多少钱流入，自然就有多少钱流出，所以到赌场倒闭，玩家赢得的钱的总数，就应该等于赌场期望的收入。而因为每个人来的时候都只带了 1 元，因此这个数正好等于期望的人数。于是这就是最终答案。

2、一堆硬币，每天都随便捡一枚抛，如果抛到正面，就把它翻过来；如果抛到反面，就再抛一下，问很长很长时间以后，硬币正面和反面的比例会趋近于多少？

假设正面的比例是 x，那么反面就是 1-x，对于任意一次操作：

• 如果抛到正面，那么得到的就一定是反面了；
• 如果抛到反面，那么得到正面的可能性为 0.5，反面的也为 0.5。

所以得到正面的综合起来的概率为：

x*0 + (1-x)*0.5 = x

所以 x = 1/3，因此硬币正面和反面的比例会趋近于 x/(1-x) = 1/2

3、连续抛硬币，直到第一次出现连续两次正面为止，恰好抛了 N 次的概率是多少？

考虑 “恰好” 抛 N 次硬币，到底有多少种情况可以得出最后两次是连续出现了正面，而之前没有出现过连续正面。

• 假设 f(x) 表示第一次出现连续正面的时候，已经抛了 x 次，并且整个过程的第一次抛出的结果是反面；
• 假设 g(x) 表示第一次出现连续正面的时候，已经抛了 x 次，并且整个过程的第一次抛出的结果是正面。

所以 f(1)=f(2)=0，g(1)=0，g(2)=1，而当 x>2，

• 求 f(x+1)，因为第一次是反面，所以这新添加的第一次不影响结果，因此 f(x+1)=f(x)+g(x)
• 求 g(x+1)，因为第一次是正面，必须要保证第二次不能为正，所以 g(x+1)=f(x)

于是得到：

f(x+2)=f(x+1)+g(x+1)=f(x+1)+f(x) g(x+1)=f(x)

其中，求 f(x) 的递推式可以看出 f(x) 是斐波那契数列，根据它的通项公式：

得到 f(N)，也就得到了 g(N)，而总抛的可能性共有 2^N 次方，因此，概率为：

(f(N)+g(N))/2^N 4、抛硬币 N 次，出现连续 M 次正面的概率是多少？

这个问题也很常见，但是做起来没那么容易，这里有一个非常详细的讨论过程（链接），我就不搬过来了。

5、抛 N 次硬币，正反两面出现次数相同的概率是多少？

其实就是从 N 个硬币的空位中，选出 N/2 个作为正面，余下 N/2 个作为反面，应用组合公式可得到：

C(N,N/2)/2^N=N!/((N-N/2)!(N/2)!)/2^N

继续，

正面出现次数超过反面的概率？

因为正反情况相同，因此正面次数超过反面的概率应当等于反面次数超过正面的概率，因此结果为 1 减去上面那一问的结果之后除以 2：

(1-C(N,N/2)/2^N)/2

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