【矩阵论】单射、满射与双射

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映射；Mapping

映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素与它对应，那么这样的对应（包括对应法则）叫做集合A到集合B的映射。其中，A中的元素称为原像，B中的元素称为A中元素的像（ i m a g e image image）。

单射、满射与双射；Injection, surjection and bijection

单射：在英语中称为 i n j e c t i o n injection injection或 o n e one one t o to to o n e one one。设 A A A和 B B B是两个非空集合， F F F是一个映射。如果对 B B B中任一元素，若 A A A中有其原像，则其在 A A A中的原像有且仅有一个，就称 F F F为一个从 A A A到 B B B的单射。

即单射只能一对一，不能多对一。 F ： A → B F：A \rightarrow B F：A→B i s is is i n j e c t i o n injection injection i f if if a n d and and o n l y only only i f if if ∀ a , b ∈ A \forall a,b \in A ∀a,b∈A, T h e n Then Then F ( a ) = F ( b ) ⇒ a = b F(a)=F(b) \Rightarrow a=b F(a)=F(b)⇒a=b

满射：在英语中称为 s u r j e c t i o n surjection surjection或 o n t o onto onto。如果每个可能的像至少有一个变量映射其上，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应，那这个映射就叫做满射。

即像集合 B B B中的每个元素在 A A A中都有一个或一个以上的原像。 F ： A → B F：A \rightarrow B F：A→B i s is is s u r j e c t i o n surjection surjection i f if if a n d and and o n l y only only i f if if ∀ b ∈ B \forall b \in B ∀b∈B, ∃ a ∈ A \exists a \in A ∃a∈A s u c h such such t h a t that that F ( a ) = b F(a)=b F(a)=b

双射：在英语中称为为 b i j e c t i o n bijection bijection。设 A A A和 B B B是两个非空集合， F F F是一个映射，如果对 B B B中任一元素，依照映射 F F F， A A A中都有其唯一的原像，就称 F F F为一个从 A A A到 B B B的双射。

即对B中所有的元素， A A A中都存在其唯一原像。 F ： A → B F：A \rightarrow B F：A→B i s is is b i j e c t i o n bijection bijection i f if if a n d and and o n l y only only i f if if ∀ b ∈ B \forall b \in B ∀b∈B, t h e r e i s a u n i q u e a ∈ A there\ is\ a\ unique\ a \in A there is a unique a∈A s u c h such such t h a t that that F ( a ) = b F(a)=b F(a)=b

参考资料

[1]百度百科：浅谈对应，映射，单射，双射，满射，函数 [2]维基百科：单射、双射与满射

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