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戈莱码

hotarugali

发布于 2022-08-31 07:51:44

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1. 简介

194919491949 年，Marcel Golay 给出了四个线性码，分别记为

现在称这四个线性码为戈莱码。

为二元线性码，

是三元线性码。无论从理论还是实用的角度看，戈莱码都是一类重要的线性码。

2. 二元戈莱码

2.1 定义

以 G 为生成矩阵的二元 [24,12] 线性码称为二元戈莱码

2.2 性质

定理一：二元戈莱码

是自对偶的，即

定理二：

也是二元戈莱码

的生成矩阵，其中A 同定义中的矩阵。

定理三：二元戈莱码

中每个码字的重量都能被 4 整除。

定理四：二元戈莱码

没有重量为 4 的码字。

定理五：二元戈莱码

是一个 [24,12,8] 线性码。

令 Ai表示二元戈莱码

中重量为 i 的码字的数目，0≤i≤24。通过编程可以计算得：

3. 二元戈莱码

3.1 定义

将二元戈莱码

的每个码字的最后一个分量去掉，得到一个新的二元码，称之为二元戈莱码

。不难看出，

是一个二元 [23,12,7]线性码。

将

的所有码字排列成一个

阶矩阵，其中每一行是一个码字。可以证明，去掉这个矩阵中的任意一列所得到的二元 [23,12,7] 线性码是相互等价的。另外，二元戈莱码

也可以通过二元戈莱码

增加一个奇偶校验位得到。

3.2 性质

定理六：二元戈莱码

是完备码。

令

表示二元戈莱码

中重量为 i的码字的数目，0≤i≤23通过编程可以计算得：

4. 三元戈莱码

4.1 定义

5. 三元戈莱码

5.1 定义

6. 实现

计算戈莱码的码字重量分布代码实现如下：

import os
import numpy as np
from itertools import combinations, product


G11 = np.array(
    [[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1],
     [0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 2],
     [0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 2],
     [0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 1],
     [0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 1]], dtype=np.int64
)
G12 = np.array(
    [[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1],
     [0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 1],
     [0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 2],
     [0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2],
     [0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1],
     [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 0]], dtype=np.int64
)
G23 = np.array(
    [[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1],
     [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1],
     [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0],
     [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1],
     [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1],
     [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0]], dtype=np.int64
)
G24 = np.array(
    [[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1],
     [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0],
     [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1],
     [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1],
     [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1]], dtype=np.int64
)

q = 2
G = G23

cnt = np.zeros(G.shape[1]+1, dtype=np.int64)
coefs = range(q)
idxs = range(G.shape[0])
for coef in product(coefs, repeat=G.shape[0]):
    val = np.zeros(G.shape[1], dtype=np.int64)
    for i in range(len(coef)):
        val = (val + (coef[i]*G[i])) % q

    print(val)
    cnt[np.count_nonzero(val)] += 1

for i in range(G.shape[1]+1):
    print("A{} = {}".format(i, cnt[i]))