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斯托尔兹（Stolz）定理

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AXYZdong

发布于 2022-01-07 03:11:14

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斯托尔兹（Stolz）定理

$若序列 \lbrace y_n \rbrace单调上升，且 \lim_{n\to\infty}y_n=+\infty,则$

$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$

推论

推论一

$若\lim_{n\to\infty}x_n=l，则\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k=l$

推论二

$若 x_n恒正，且\lim_{n\to\infty}x_n=l，则\lim\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n{x_k}}=l$

推论三

$若 x_n>0 ，且\lim\frac{x_{n+1}}{x_n}=l，则\lim\sqrt[n]{x_n}=l$

举例

$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^5}{\sum_{k=1}^{n}(2k)^5}= ?$

解：令

$x_n=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^5$

，

$y_n=\sum_{k=1}^{n}(2k)^5$

则：

$原式=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{(2n-1)^5}{(2n)^5}=1$

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