《游戏引擎架构》阅读笔记 第一部分第4章

• 本系列博客为《游戏引擎架构》一书的阅读笔记，旨在精炼相关内容知识点，记录笔记，以及根据目前（2022年）的行业技术制作相关补充总结。
• 本书籍无硬性阅读门槛，但推荐拥有一定线性代数，高等数学以及编程基础，最好为制作过完整的小型游戏demo再来阅读。
• 本系列博客会记录知识点在书中出现的具体位置。并约定（Pa b），其中a为书籍中的页数，b为从上往下数的段落号，如有lastb字样则为从下往上数第b段。
• 本系列博客会约定用【】来区别本人所书写的与书中观点不一致或者未提及的观点，该部分观点受限于个人以及当前时代的视角所限，请谨慎阅读。
• 再次重申，请支持正版。

目录

• 第4章 游戏所需的三维数学
  • 4.1 在二维中解决三维问题
  • 4.2 点和矢量
  • 4.3 矩阵
  • 4.4 四元数
  • 4.5 比较各种旋转表达方式
  • 4.6 其他数学对象
  • 4.7 硬件加速的SIMD运算
  • 4.8 产生随机数

第4章 游戏所需的三维数学

4.1 在二维中解决三维问题

• P125 last2

4.2 点和矢量

• 点和笛卡尔坐标，左右手坐标系，矢量，矢量运算，点和矢量的线性插值（P126-138）
• 用点积来判断方向（P134 last）

4.3 矩阵

• 矩阵便于表示线性变换：平移、旋转、缩放等。（P139 1）
• 矩阵乘法可以计算点和矢量的缩放、旋转等变换。（P139 last2）
• 齐次坐标进行位移等计算。（P142 4）
• 基础变换矩阵：平移（P144 last2）、旋转（P145 1）缩放（P146 2）
• 坐标空间：模型空间（P417 last2）、世界空间（P149 1）、观察空间（P150 1）
• 基的变换：把物体的位置、定向和缩放从某个坐标系转换至另一个坐标系。构建改变基的矩阵（P151 2）

4.4 四元数

• 四元数作用：简化运算
• 四元数视为三维旋转（P156 last）
• 四元数旋转矢量（P159 1）

4.5 比较各种旋转表达方式

• 欧拉角：由3个标量组成：偏航角、俯仰角、滚动角。优点：简单小巧直观。缺点：任意方向轴旋转不能轻易插值，优万向节死锁情况，绕轴旋转先后次序对结果有差别，对于要旋转的物体依赖从轴和方向的映射，没有额外信息就无法得知对应哪个轴的旋转（P164 last2）
• 3X3矩阵：优点：独一无二地表达任意旋转，旋转可通过矩阵乘法直接计算。缺点：不直观，存储空间大。（P165 4）
• 轴角：以一个单位矢量定义的旋转轴，再加上一个标量定义的旋转角。优点：直观，紧凑节省空间。缺点：不能简单地进行插值，轴角形式旋转不能直接施加于点或矢量，必须先转换为矩阵或四元数。（P165 last2）
• 四元数：和轴角相似，区别在于旋转轴矢量的长度为旋转半角的正弦，并且其第4分量不是旋转角而是旋转半角的余弦。好处：能串接旋转，并直接施加于点和矢量。可以进行旋转插值。只需要存储4个浮点数。
• SQT变换：四元数结合平移矢量和缩放因子。SQT变换广泛地应用在计算机动画中，因为其体积较小(统一缩放需要8个浮点数，非统一需要10个，相对4×3矩阵则需要12个)，并且SQT变换容易插值。插值时，平移矢量和缩放因子采用LERP，四元数则可使用LERP或SLERP。（P166 last2）
• 对偶四元数：对偶四元数四个分量为对偶数。（P167 1）
• 旋转和自由度（P167 4）

4.6 其他数学对象

• 直线，射线，线段
• 球体
• 平面：点法式
• 轴对齐包围盒：AABB；定向包围盒：OBB（P171）
• 平截头体：（P171 last）

• 凸多面体区域

4.7 硬件加速的SIMD运算

• 1994年，英特尔(Intel）首次把多媒体扩展(multimedia extension，MMX）指令集进奔腾CPU产品线中。把多个8/16/32位整数载入特设的64位MMX寄存器后，MMX指令就能对那些寄存器进行SIMD运算。英特尔陆续加入多个版本的扩展指令集，称为单指令数据流扩展(streaming SIMD extensions，SSE)，其中第一个SSE版本出现于奔腾III处器。SSE指令采用128位寄存器，可储存整数或IEEE浮点数。
• 游戏引擎中最常用的SSE模式为32位浮点数打包模式(packed 32-bit floating-pointmode)。此模式中，4个32位float值被打包进单个128位寄存器，单个指令可对4对浮点数进行并行运算，如加法或乘法。当要计算四元素矢量和4×4矩阵相乘，这个模式正合我们所需!（P173）
• SSE寄存器（P173）
• _m128数据类型：此数据类型可以声明全局变量、自动变量和类或结构体的成员变量。大多数情况下，此数据类型的变量会存储于内存中，但在计算之时_m128的值会直接在CPU的SSE寄存器中运用43。（P175 last）

4.8 产生随机数

• 线性同余产生器：LCG并不能产生特别高质量的伪随机序列。若给定相同的初始种子值，则产生的序列会完全相同。LCG产生的序列并不符合一些广泛接受的准则，比如长周期、高低位有接近的长周期、产生的值在序列上和空间上都无关联性。（P180 2）
• 梅森旋转算法：有庞大周期（4.3×10^6001）,高阶的均匀分布维度，生成快速。