量子算法与实践——Grover算法

量子计算机的算力可体现为量子计算机可实现并行计算， Grover算法（Quantum Search Algorithm）是量子计算领域的主要算法之一。Grover算法是由Grover于1996年提出的平方根加速的随机数据库量子搜索算法，旨在利用量子计算机进行比经典计算机更快的数据搜索。在数据库足够混乱且没有具体的数据结构限定的条件下，Grover算法可以快速解决从N个未分类的客体中寻找出某个特定个体的问题。除搜索时间远短于经典计算外，其强大之处还在于Grover算法的公式可适用于很多问题，比如：密码学、矩阵和图形问题、优化以及量子机器学习等。本文将从Grover算法的实现原理、应用与实践等方面介绍Grover算法。

## 1.Grover算法理论

Grover算法的量子线路有一个重要的基本单元，也称为Grover迭代。一个完整的Grover量子线路会包含一个或者多个Grover迭代单元。学习Grover算法需要具备基本的线性代数基础、数字电路概念和量子相关基本概念等知识。

假设某个地区人口总数为N，现需从N个人中找到一个特定的目标X。在经典计算机中需要对N个人进行遍历，时间复杂度为O（N），即最好情况下一次即可找到目标人物，最坏情况下需要寻找N次才能找到目标人物X。而利用Grover算法寻找目标X，时间复杂度为O（√N）。

Grover算法搜寻目标对象的逻辑大致为在无序的数据集合中寻找X，首先制备全部量子态的叠加态，然后循环进行操作使得目标态的符号反向(Oracle算符)且态的符号也反向(Grover算符)；在执行次操作后，量子态被旋转至目标态；最后测量所得结果概率发现X出现的概率趋近于1，此时即可通过Grover算法找到目标X。一般地，如果想要在N个信息找到对应信息，进行4/pie\*√N次操作，进行测量得到的概率趋于1。因此，Grover算法进行无序搜索主要步骤有三个：制备量子态、G迭代、测量。

## 2.Grover算法步骤

Grover算法总体分为三大步骤：制备量子态、标记目标进行相位翻转并放大概率振幅、测量。Grover算法利用量子特性将目标值与其余值进行区分，采用验证是否符合条件的方式而不是线性查找的方式逼近正确答案。

Grover算法

### 2.1量子态制备

首先在量子电路中准备n个搜索用的量子比特，则处于基态的个数为N。将这N个基态从0到N-1开始编号，构成集合{∣i⟩}={∣0⟩,∣1⟩,......∣N−1⟩}。设其中符合搜索条件的有M个，则不符合条件的个数为N-M个。编号后再对每个量子比特基态做Hadamard门变换构造均匀叠加态。此时，将所有不符合条件的N-M个基态叠加，组成一个叠加态的状态向量，记为|α〉；将所有符合条件的M个基态叠加，组成一个状态向量记为|β〉。|α〉与|β〉构成一组正交向量，|φ〉是所有基态无差别叠加的状态：

### 2.2Grover迭代

通过一系列Hadamard门操作创建量子叠加态之后，首先需要构建一个量子门Oracle。Oracle满足O†O = OO† = I，其中I为单位矩阵，O†表示，先对O做转置，再对O中的每个元素取共轭。Oracle主要作用是区分目标数据和其他数据，对量子状态做酉变换改变目标值的相位。具体操作如下公式：

此时，再引入一个判断函数f(x)，设如果x满足f（x）=1，则x是符合条件的搜索目标；否则x不是搜索目标，即如果f（x）=0则x不是目标对象。

公式中当f（x）=1符号不变，f（x）=0时符号反向。

以上步骤已经完成标记目标对象操作，接下来需要做G迭代，主要作用是放大概率振幅。通过多次G迭代后，目标概率振幅被放大趋近于1。

其中O为Oracle算符，I为单位算符。实现多次G迭代的作用效果如下图：

### 2.3测量

在做完Grover变换后，对结果进行测量发现搜索目标的概率振幅最大趋近于1，即完成整个搜索过程。Grover算法是一种算法思想，旨在利用量子固有的特性在大量数据中进行搜索。但Grover算法在实际应用中也有一定局限性，比如在实际构造Oracle时，Oracle计算步骤数量超过算法所保存的步骤数量，从而导致Grover算法比经典算法慢；当数据库足够混乱且没有具体的数据结构时，Grover算法才能比经典算法更适用。

## 3.Grover算法应用与实践

Grover算法是量子算法的典型算法之一，如IBM推出的Qiskit、本源量子公司推出的QPanda量子计算编程框架、启科量子的量子编程框架软件QuTrunk均在自主开发的量子产品中实现Grover算法。QuTrunk自主研发的Python量子编程语言框架，包括量子编程API、量子命令转译、量子计算后端接口等，所有支持Python编程的IDE均可安装使用。目前QuTrunk以QuSprout作为后端，还可扩展支持更多后端。QuTrunk对量子编程相关的基本概念做了代码层面的抽象封装和实现，如量子比特和量子门等等概念可对应到QuTrunk框架内相应的python模块。QuTrunk项目为量子编程工作提供量子底层的软件架构和体系，形成一套统一的量子编程规范。

### 3.1 IBM Qiskit Grover算法部分代码示例

Qiskit是IBM发布的一个专为量子电路与算法打造的开源框架，开发者可使用Qiskit用Python编写量子算法。

以下为Qiskit实现Grover算法部分代码示例：

**步骤1：设N=3,制备量子态**

 ```python

grover=QuantumCircuit(3,3)

grover.h(0)

grover.h(1)

grover.h(2)

```

**步骤2：确定搜索目标并实行相位翻转**

```python

target=input()

if target[-1]=='0':

    grover.x(0)

if target[-2]=='0':

    grover.x(1)

if target[-3]=='0':

    grover.x(2)

```

**步骤3：运行grover算法放大搜索目标概率**

```python

grover.h([0,1,2])

grover.x([0,1,2])

grover.h(0)

grover.ccx(2,1,0)

grover.h(0)

grover.x([0,1,2])

grover.h([0,1,2])

```

**步骤4：进行结果测量**

```

grover.measure([0,1,2],[0,1,2])

```

#

### 3.2 本源量子QPanda Grover算法部分代码示例

QPanda是由本源量子开发的开源量子计算编程框架，它可以用于构建、运行和优化量子算法。

以下为Qpanda实现Grover搜索算法代码示例：

**步骤1：设置算法条件**

```python

    template <class T>

    QProg grover_alg_search_from_vector(const std::vector<T> &data_vec,

    ClassicalCondition condition,

    std::vector<size_t> &result_index_vec,

    QuantumMachine * qvm,

    size_t repeat = 2)

    QVec measure_qubits;

    QProg grover_prog = build_grover_alg_prog(data_vec, condition, qvm, measure_qubits, repeat);

    auto c = qvm->allocateCBits(measure_qubits.size());

    grover_prog << MeasureAll(measure_qubits, c);

```

**步骤2：测量**

```python

    //measure

    //PTrace("Strat pmeasure.\n");

    const double _shot = 2048;

    auto result = qvm->runWithConfiguration(grover_prog, c, _shot);

    prob_dict _double_result;

for (auto const& _i : result) {

        _double_result.emplace(std::make_pair(_i.first, (double)_i.second / _shot));

    }

```

**步骤3：输出结果**

```python

    //get result

    result_index_vec = search_target_from_measure_result(_double_result, measure_qubits.size());

return grover_prog;

QPANDA_END

```

## 4.启科量子QuTrunk Grover算法的应用于实践

### 4.1启科量子QuTrunk产品简介

QuTrunk是启科量子自主研发的量子编程框架，基于Python提供量子编程API，对量子编程相关的基本概念做了代码层面的抽象封装和实现。量子编程相关概念对应到QuTrunk框架内相应的Python模块，比如QCircuit可实现量子线路，Qubit可实现量子比特，Qureg可实现量子寄存器；Command对应每个量子门操作的指令，Backend代表运行量子线路的后端模块，Gate模块里面实现了各类基础量子门操作，下面对这些主要模块做进一步说明：

- QCircuit: 表示量子线路，维护对所有量子比特的各种门操作及操作时序，代表了整个量子算法的实现，在QuSprout编辑器中输入`from QuTrunk.core.circuit import QCircuit, InitState`。

- Qubit：代表单个量子比特，每个量子比特默认持有一个经典比特，方便存放量子比特对测量结果，例如`num_qubits = 15`，输出`print("num_qubits:", num_qubits, "num_elems:", num_elems, "num_reps:", num_reps)`。

- Qureg: 维护若干个量子比特，用于实现一个具体的量子算法。为了获取n量子位量子寄存器的实例，必须以量子位数为参数调用主引擎的函数allocate_qureg（n），代码操作为`qureg=eng.allocate_qureg(n)`。

- Command: 每个量子门操作其背后都会转换成一个基础指令，这些指令按照时间顺序存放在QCircuit中，当整个算法结束或者需要计算当前量子线路的某种状态取值时，这些指令会被发送到指定的后端去执行。

- Backend: 后端模块，用于执行量子线路，支持本地后端，QuBox后端等，可以通过指定backend参数来更改默认的模拟后端。

- Gate: 量子算法基本组成单元，提供各类量子门操作，包括：H, Measure, CNOT, Toffoli, P, R, Rx, Ry, Rz, S, Sdg, T, Tdg, X, Y, Z, NOT, Swap, SqrtSwap, SqrtX, All, C, Rxx, Ryy, Rzz。在QuBranch编辑器中进行们操作所需代码输入为`from QuTrunk.core.gates import H, X, C, Z`。

QuTrunk目前已经完成第一版开发工作，通过接入QuBox（量子计算后端设备）实现量子算法的运行，已预留API接口将可接入真实量子计算设备。

### 4.2启科量子QuTrunk的下载与安装

* 步骤一：下载并安装QuBranch

* 步骤二：点击【查看】-【命令面板】或快捷键Ctrl+Shift+P

* 步骤三：输入【>quan:一键安装所需要依赖】安装Qutrunk开发包。

### 4.3QuTrunk实现Grover算法步骤

**步骤1 首先在QuBranch中导入随机数模块和QuTrunk中的部分模块**

```python

import math

import random

from numpy import pi

from qutrunk.circuit import QCircuit

from qutrunk.circuit.gates import Measure, All

from qutrunk.circuit.ops import QSP, QAA

```

* 步骤2 调用量子相位准备运算符QSP和量子振幅这么大运算符QAA

```python

class QSP(Operator): ...

class QAA(Operator): ...

```

* 步骤3 运行Grover算法，不断进行G迭代直至搜索出目标值 

```python

    num_qubits = 10

    num_elems = 2**num_qubits

    num_reps = math.ceil(pi / 4 * math.sqrt(num_elems))

print("num_qubits:", num_qubits, "num_elems:", num_elems, "num_reps:", num_reps)

    sol_elem = random.randint(0, num_elems - 1)

print(f"target state: |{str(sol_elem)}>")

    ...

    QSP("+") * qureg

    QAA(num_reps, sol_elem) * qureg

```

* 步骤4 输出运行结果 

从结果中可观察到搜索的量子比特数为10Qubit、量子门数为11726个、总的运行时间为0.2063s（其中QuBox运行时间为0.1982s，QuTrunk运行时间仅为0.0081s）。  

```python

    Counter(quit=10)

    qubits = 10

    quantum_gates = 1320

    total_time = 0.20626401901245117

    qutrunk_time = 0.008100509643554688

    backend_time = 0.19816350936889648

```

以上Grover算法中生成随机数目标为303，最终搜索结果概率峰值为0.9927接近于1。在搜索过程中，当此概率出现峰值且第一次下降时即停止搜索，认为已经找到目标值即为303。

```python

    ...

    prob of state |303> = 0.9732419406366319

    prob of state |303> = 0.9896710602298116

    prob of state |303> = 0.9984565412943175

    prob of state |303> = 0.9994612447443189

    prob of state |303> = 0.9926694874189682

    measure result: 303

```

## 4.结尾

总体而言，Grover算法只有在满足数据未分类的情况下，其计算时间才会优于经典计算。其次，执行Grover算符需要对唯一的量子态做相位翻转，这通常需要一个尺度正比于比特数平方的算法，在实际实现中比较困难并不利于Grover算法实现。然而，Grover算法思想的精髓之处正是利用量子的叠加特性对大量数据进行验证。因此面对足够庞大且没有数据结构的数据库时，Grover算法才能充分发挥其算力优势。启科量子已经自建了量子算法库QuFlower，包括基础、中级、高级三个级别的量子算法，以供程序调用，从而降低量子编程难度。