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社区首页 >专栏 >为什么你学不会递归?

为什么你学不会递归?

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Java3y
发布于 2019-11-18 12:39:01
发布于 2019-11-18 12:39:01
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本文公众号来源:苦逼的码农

作者:帅地

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可能很多人在大一的时候,就已经接触了递归了,不过,我敢保证很多人初学者刚开始接触递归的时候,是一脸懵逼的,我当初也是,给我的感觉就是,递归太神奇了!

可能也有一大部分人知道递归,也能看的懂递归,但在实际做题过程中,却不知道怎么使用,有时候还容易被递归给搞晕。也有好几个人来问我有没有快速掌握递归的捷径啊。说实话,哪来那么多捷径啊,不过,我还是想写一篇文章,谈谈我的一些经验,或许,能够给你带来一些帮助。

为了兼顾初学者,我会从最简单的题讲起!

递归的三大要素

第一要素:明确你这个函数想要干什么

对于递归,我觉得很重要的一个事就是,这个函数的功能是什么,他要完成什么样的一件事,而这个,是完全由你自己来定义的。也就是说,我们先不管函数里面的代码什么,而是要先明白,你这个函数是要用来干什么。

例如,我定义了一个函数

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1// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
2int f(int n){
3
4}

这个函数的功能是算 n 的阶乘。好了,我们已经定义了一个函数,并且定义了它的功能是什么,接下来我们看第二要素。

第二要素:寻找递归结束条件

所谓递归,就是会在函数内部代码中,调用这个函数本身,所以,我们必须要找出递归的结束条件,不然的话,会一直调用自己,进入无底洞。也就是说,我们需要找出当参数为啥时,递归结束,之后直接把结果返回,请注意,这个时候我们必须能根据这个参数的值,能够直接知道函数的结果是什么。

例如,上面那个例子,当 n = 1 时,那你应该能够直接知道 f(n) 是啥吧?此时,f(1) = 1。完善我们函数内部的代码,把第二要素加进代码里面,如下

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1// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
2int f(int n){
3    if(n == 1){
4        return 1;
5    }
6}

有人可能会说,当 n = 2 时,那我们可以直接知道 f(n) 等于多少啊,那我可以把 n = 2 作为递归的结束条件吗?

当然可以,只要你觉得参数是什么时,你能够直接知道函数的结果,那么你就可以把这个参数作为结束的条件,所以下面这段代码也是可以的。

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1// 算 n 的阶乘(假设n>=2)
2int f(int n){
3    if(n == 2){
4        return 2;
5    }
6}

注意我代码里面写的注释,假设 n >= 2,因为如果 n = 1时,会被漏掉,当 n <= 2时,f(n) = n,所以为了更加严谨,我们可以写成这样:

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1// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
2int f(int n){
3    if(n <= 2){
4        return n;
5    }
6}

第三要素:找出函数的等价关系式

第三要素就是,我们要不断缩小参数的范围,缩小之后,我们可以通过一些辅助的变量或者操作,使原函数的结果不变。

例如,f(n) 这个范围比较大,我们可以让 f(n) = n * f(n-1)。这样,范围就由 n 变成了 n-1 了,范围变小了,并且为了原函数f(n) 不变,我们需要让 f(n-1) 乘以 n。

说白了,就是要找到原函数的一个等价关系式,f(n) 的等价关系式为 n * f(n-1),即

f(n) = n * f(n-1)。

这个等价关系式的寻找,可以说是最难的一步了,如果你不大懂也没关系,因为你不是天才,你还需要多接触几道题,我会在接下来的文章中,找 10 道递归题,让你慢慢熟悉起来

找出了这个等价,继续完善我们的代码,我们把这个等价式写进函数里。如下:

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1// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
2int f(int n){
3    if(n <= 2){
4        return n;
5    }
6    // 把 f(n) 的等价操作写进去
7    return f(n-1) * n;
8}

至此,递归三要素已经都写进代码里了,所以这个 f(n) 功能的内部代码我们已经写好了。

这就是递归最重要的三要素,每次做递归的时候,你就强迫自己试着去寻找这三个要素。

还是不懂?没关系,我再按照这个模式讲一些题。

有些有点小基础的可能觉得我写的太简单了,没耐心看?少侠,请继续看,我下面还会讲如何优化递归。当然,大佬请随意,可以直接拉动最下面留言给我一些建议,万分感谢!

案例1:斐波那契数列

斐波那契数列的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34….,即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1…..,第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 项的值是多少。

1、第一递归函数功能

假设 f(n) 的功能是求第 n 项的值,代码如下:

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1int f(int n){
2
3}

2、找出递归结束的条件

显然,当 n = 1 或者 n = 2 ,我们可以轻易着知道结果 f(1) = f(2) = 1。所以递归结束条件可以为 n <= 2。代码如下:

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1int f(int n){
2    if(n <= 2){
3        return 1;
4    }
5}

第三要素:找出函数的等价关系式

题目已经把等价关系式给我们了,所以我们很容易就能够知道 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。我说过,等价关系式是最难找的一个,而这个题目却把关系式给我们了,这也太容易,好吧,我这是为了兼顾几乎零基础的读者。

所以最终代码如下:

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1int f(int n){
2    // 1.先写递归结束条件
3    if(n <= 2){
4        return n;
5    }
6    // 2.接着写等价关系式
7    return f(n-1) + f(n - 2);
8}

搞定,是不是很简单?

零基础的可能还是不大懂,没关系,之后慢慢按照这个模式练习!好吧,有大佬可能在吐槽太简单了。

案例2:小青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

1、第一递归函数功能

假设 f(n) 的功能是求青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法,代码如下:

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1int f(int n){
2
3}

2、找出递归结束的条件

我说了,求递归结束的条件,你直接把 n 压缩到很小很小就行了,因为 n 越小,我们就越容易直观着算出 f(n) 的多少,所以当 n = 1时,你知道 f(1) 为多少吧?够直观吧?即 f(1) = 1。代码如下:

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1int f(int n){
2    if(n == 1){
3        return 1;
4    }
5}

第三要素:找出函数的等价关系式

每次跳的时候,小青蛙可以跳一个台阶,也可以跳两个台阶,也就是说,每次跳的时候,小青蛙有两种跳法。

第一种跳法:第一次我跳了一个台阶,那么还剩下n-1个台阶还没跳,剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。

第二种跳法:第一次跳了两个台阶,那么还剩下n-2个台阶还没,剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。

所以,小青蛙的全部跳法就是这两种跳法之和了,即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。至此,等价关系式就求出来了。于是写出代码:

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1int f(int n){
2    if(n == 1){
3        return 1;
4    }
5    ruturn f(n-1) + f(n-2);
6}

大家觉得上面的代码对不对?

答是不大对,当 n = 2 时,显然会有 f(2) = f(1) + f(0)。我们知道,f(0) = 0,按道理是递归结束,不用继续往下调用的,但我们上面的代码逻辑中,会继续调用 f(0) = f(-1) + f(-2)。这会导致无限调用,进入死循环

这也是我要和你们说的,关于递归结束条件是否够严谨问题,有很多人在使用递归的时候,由于结束条件不够严谨,导致出现死循环。也就是说,当我们在第二步找出了一个递归结束条件的时候,可以把结束条件写进代码,然后进行第三步,但是请注意,当我们第三步找出等价函数之后,还得再返回去第二步,根据第三步函数的调用关系,会不会出现一些漏掉的结束条件。就像上面,f(n-2)这个函数的调用,有可能出现 f(0) 的情况,导致死循环,所以我们把它补上。代码如下:

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1int f(int n){
2    //f(0) = 0,f(1) = 1,等价于 n<=2时,f(n) = n。
3    if(n <= 2){
4        return n;
5    }
6    ruturn f(n-1) + f(n-2);
7}

有人可能会说,我不知道我的结束条件有没有漏掉怎么办?别怕,多练几道就知道怎么办了。

看到这里有人可能要吐槽了,这两道题也太容易了吧??能不能被这么敷衍。少侠,别走啊,下面出道难一点的。

下面其实也不难了,就比上面的题目难一点点而已,特别是第三步等价的寻找。

案例3:反转单链表。

反转单链表。例如链表为:1->2->3->4。反转后为 4->3->2->1

链表的节点定义如下:

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1class Node{
2    int date;
3    Node next;
4}

虽然是 Java语言,但就算你没学过 Java,我觉得也是影响不大,能看懂。

还是老套路,三要素一步一步来。

1、定义递归函数功能

假设函数 reverseList(head) 的功能是反转但链表,其中 head 表示链表的头节点。代码如下:

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1Node reverseList(Node head){
2
3}

2. 寻找结束条件

当链表只有一个节点,或者如果是空表的话,你应该知道结果吧?直接啥也不用干,直接把 head 返回呗。代码如下:

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1Node reverseList(Node head){
2    if(head == null || head.next == null){
3        return head;
4    }
5}

3. 寻找等价关系

这个的等价关系不像 n 是个数值那样,比较容易寻找。但是我告诉你,它的等价条件中,一定是范围不断在缩小,对于链表来说,就是链表的节点个数不断在变小,所以,如果你实在找不出,你就先对 reverseList(head.next) 递归走一遍,看看结果是咋样的。例如链表节点如下

我们就缩小范围,先对 2->3->4递归下试试,即代码如下

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1Node reverseList(Node head){
2    if(head == null || head.next == null){
3        return head;
4    }
5    // 我们先把递归的结果保存起来,先不返回,因为我们还不清楚这样递归是对还是错。,
6    Node newList = reverseList(head.next);
7}

我们在第一步的时候,就已经定义了 reverseLis t函数的功能可以把一个单链表反转,所以,我们对 2->3->4反转之后的结果应该是这样:

我们把 2->3->4 递归成 4->3->2。不过,1 这个节点我们并没有去碰它,所以 1 的 next 节点仍然是连接这 2。

接下来呢?该怎么办?

其实,接下来就简单了,我们接下来只需要把节点 2 的 next 指向 1,然后把 1 的 next 指向 null,不就行了?,即通过改变 newList 链表之后的结果如下:

也就是说,reverseList(head) 等价于 ** reverseList(head.next)** + 改变一下1,2两个节点的指向。好了,等价关系找出来了,代码如下(有详细的解释):

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 1//用递归的方法反转链表
 2public static Node reverseList2(Node head){
 3    // 1.递归结束条件
 4    if (head == null || head.next == null) {
 5             return head;
 6         }
 7         // 递归反转 子链表
 8         Node newList = reverseList2(head.next);
 9         // 改变 1,2节点的指向。
10         // 通过 head.next获取节点2
11         Node t1  = head.next;
12         // 让 2 的 next 指向 2
13         t1.next = head;
14         // 1 的 next 指向 null.
15        head.next = null;
16        // 把调整之后的链表返回。
17        return newList;
18    }

这道题的第三步看的很懵?正常,因为你做的太少了,可能没有想到还可以这样,多练几道就可以了。但是,我希望通过这三道题,给了你以后用递归做题时的一些思路,你以后做题可以按照我这个模式去想。通过一篇文章是不可能掌握递归的,还得多练,我相信,只要你认真看我的这篇文章,多看几次,一定能找到一些思路!!

我已经强调了好多次,多练几道了,所以呢,后面我也会找大概 10 道递归的练习题供大家学习,不过,我找的可能会有一定的难度。不会像今天这样,比较简单,所以呢,初学者还得自己多去找题练练,相信我,掌握了递归,你的思维抽象能力会更强!

接下来我讲讲有关递归的一些优化。

有关递归的一些优化思路

1. 考虑是否重复计算

告诉你吧,如果你使用递归的时候不进行优化,是有非常非常非常多的子问题被重复计算的。

啥是子问题?f(n-1),f(n-2)….就是 f(n) 的子问题了。

例如对于案例2那道题,f(n) = f(n-1) + f(n-2)。递归调用的状态图如下:

看到没有,递归计算的时候,重复计算了两次 f(5),五次 f(4)。。。。这是非常恐怖的,n 越大,重复计算的就越多,所以我们必须进行优化。

如何优化?一般我们可以把我们计算的结果保证起来,例如把 f(4) 的计算结果保证起来,当再次要计算 f(4) 的时候,我们先判断一下,之前是否计算过,如果计算过,直接把 f(4) 的结果取出来就可以了,没有计算过的话,再递归计算。

用什么保存呢?可以用数组或者 HashMap 保存,我们用数组来保存把,把 n 作为我们的数组下标,f(n) 作为值,例如 arr[n] = f(n)。f(n) 还没有计算过的时候,我们让 arr[n] 等于一个特殊值,例如 arr[n] = -1。

当我们要判断的时候,如果 arr[n] = -1,则证明 f(n) 没有计算过,否则, f(n) 就已经计算过了,且 f(n) = arr[n]。直接把值取出来就行了。代码如下:

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 1// 我们实现假定 arr 数组已经初始化好的了。
 2int f(int n){
 3    if(n <= 1){
 4        return n;
 5    }
 6    //先判断有没计算过
 7    if(arr[n] != -1){
 8        //计算过,直接返回
 9        return arr[n];
10    }else{
11        // 没有计算过,递归计算,并且把结果保存到 arr数组里
12        arr[n] = f(n-1) + f(n-1);
13        reutrn arr[n];
14    }
15}

也就是说,使用递归的时候,必要 须要考虑有没有重复计算,如果重复计算了,一定要把计算过的状态保存起来。

2. 考虑是否可以自底向上

对于递归的问题,我们一般都是从上往下递归的,直到递归到最底,再一层一层着把值返回。

不过,有时候当 n 比较大的时候,例如当 n = 10000 时,那么必须要往下递归10000层直到 n <=1 才将结果慢慢返回,如果n太大的话,可能栈空间会不够用。

对于这种情况,其实我们是可以考虑自底向上的做法的。例如我知道

f(1) = 1;

f(2) = 2;

那么我们就可以推出 f(3) = f(2) + f(1) = 3。从而可以推出f(4),f(5)等直到f(n)。因此,我们可以考虑使用自底向上的方法来取代递归,代码如下:

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 1public int f(int n) {
 2       if(n <= 2)
 3           return n;
 4       int f1 = 1;
 5       int f2 = 2;
 6       int sum = 0;
 7
 8       for (int i = 3; i <= n; i++) {
 9           sum = f1 + f2;
10           f1 = f2;
11           f2 = sum;
12       }
13       return sum;
14   }

这种方法,其实也被称之为递推

最后总结

其实,递归不一定总是从上往下,也是有很多是从下往上的,例如 n = 1 开始,一直递归到 n = 1000,例如一些排序组合。

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原始发表:2019-11-18,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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人工智能赋能流媒体
前言 人工智能(AI)、深度学习和自然语言处理将成为新一代流媒体行业的关键技术。从生产到消费的各个阶段,它们都将产生非常重大的影响。毫无疑问,随着人工智能在许多不同行业的逐步深入,它也将被更广泛地应用于流媒体领域。 近年来,一些公司已经取得了重要的进展,包括Google云视频智能API,Conviva的视频智能架构,NVIDIA DLA和IBM Watson技术。所有这些技术都在不同程度上部署了AI,尤其是在云计算领域。另外,我们很快也会看到AI被应用于流媒体的其他方面。 人工智能可以用来取代很多人力资源,
用户1324186
2018/03/05
1.7K0
人工智能赋能流媒体
吃土星人买不起赛事门票?没关系,VR直播请你免费看!
从今年三月,Facebook正式面向全部用户,推出Live 360服务。再到现在,Facebook宣布全景直播服务Live 360新增自动稳定功能、打赏功能和4K支持,并推出Live 360认证计划。
VRPinea
2018/05/16
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超级碗大秀无人机背后,是英特尔在体育圈内的巨大野心
昨天上演惊天逆转的超级碗比赛是不是让大家意犹未尽?在盘点了超级碗上用到的黑科技之后,我们发现从担当表演嘉宾的英特尔无人机Intel Shooting Star到360度回放技术,英特尔的身影是无处不在。 年初的CES上,英特尔还借助VR和5G技术,将英特尔体育展区拍摄到的篮球和棒球现场,实时传输到用户佩戴的VR头显中进行观看。 然而这些还只是英特尔在体育圈的冰山一角。 英特尔在体育圈内的布局 在我们固有的认知里,总觉得英特尔是一家芯片公司,但是英特尔用实际行动告诉你,他们的目标是未来科技体育产业的星辰大海。
镁客网
2018/05/29
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无需门票,VR+体育让你彻底“燃起来”
昨日,第51届美国橄榄球联盟(NFL)年度冠军赛“超级碗”正式上演,大量球迷和游客涌入美国第四大城市休斯敦,观看了这场新英格兰爱国者和亚特兰大猎鹰之间的决赛。 今年与往年不同的是,福克斯体育与Live
VRPinea
2018/05/15
5680
Coach Advisor ,贴心的AI网球教练顾问
Coach Advisor,是IBM与美国网球协会(USTA)合作开发的人工智能网球教练顾问——利用IBM和Red Hat混合云功能将人工智能对网球运动员的分析直接交给美国网球协会的教练,帮助教练更加直观清晰地了解网球运动员表现和状态。
AiTechYun
2019/09/04
1.1K0
Coach Advisor ,贴心的AI网球教练顾问
媒体生产中的人工智能
前言 人工智能和机器学习技术的进步,使得制造商和广播公司能够开发和实现更加智能的工具和应用,以加速整个产品的生命周期。对广播公司而言,人工智能的吸引力在于其在利用机器来了解受众需求,管理数据,过滤特定主题的内容以及生产原创内容等方面表现出的高效性。本文将分生成视频,决定创意,简化编辑和优化存档四个方面介绍人工智能在媒体生产中的应用,重点是生成视频。 生成视频 视频摘要 好莱坞开始使用人工智能来简化预告片的生成方式。基本方法是利用人工智能识别影片中的关键情节点,并根据已经知道的预告片和观众对这些预告片的反应来
用户1324186
2018/03/06
1.5K0
媒体生产中的人工智能
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