对角化可逆矩阵怎么求_正交矩阵一定可逆吗

1

矩阵对角化方法

摘要：

本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法，利用矩阵的初等变换，先求出矩阵的特征根与特征向

量，接着再判断矩阵是否可对角化。

关键词：

矩阵

特征根

特征向量

对角化

The Methods of the Diagonalization of the Matrix

g

Abstract:

In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional

methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic

roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.

Key words:

Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization

1

、引言

对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性，

而矩阵对角化方法

有很多，

如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵，

通过配方法将其化为标

准形从而实现矩阵的对角化，再如通过求解特征根和特征向量方法，首先求解

0

|

|





A

E



得特征根

i



，然后对每一个

i



，解方程组

0

)

(





X

A

E

i



得特征向量，即

寻找一个可逆矩阵

T

，使得







AT

T

1

,

其中



为对角阵，于是可得

1







T

T

A

，从而

1







T

T

A

n

n

,

在这个对角化过程中，



中的元素即为矩阵

A

的特征根，

T

中每个列向

量即为矩阵

A

的属于每个特征根的特征向量。

本文主要介绍一种异于传统方法的矩阵

对角化方法，

即将矩阵的特征矩阵经过一系列初等变换将其化为上三角形矩阵或对角

形矩阵从而得到矩阵的特征根与特征向量，同时判断矩阵是否可对角化。

2

、讨论对于有

n

个特征单根的

n

阶方阵

1

.

2

基本原理

引理

1

：设

A

是秩为

r

的

n

m



阶矩阵，且

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