Simulink建模与仿真（9）-动态系统模型及其Simulink表示（连续系统模型及表示）

连续系统的基本概念

与离散系统不同，连续系统是指系统输出在时间上连续变化，而非仅在离散的时刻采样取值。连续系统的应用非常广泛，下面给出连续系统的基本概念。

【定义】 连续系统。

满足如下条件的系统为连续系统：

(1) 系统输出连续变化。变化的间隔为无穷小量。

(2) 对系统的数学描述来说，存在系统输入或输出的微分项（导数项）。

(3) 系统具有连续的状态。在离散系统中，系统的状态为时间的离散函数，而连续系统的状态为时间连续量。

连续系统的数学描述

设连续系统的输入变量为u，其中t为连续取值的时间变量，设系统的输出为y；由连续系统的基本概念可以写出连续系统的最一般的数学描述，即:

系统的实质为输入变量到输出变量的变换，注意这里系统的输入变量与输出变量既可以是标量（单输入单输出系统），也可以是向量（多输入多输出系统）；而且在系统的数学描述中含有系统输入或输出的导数。

除了采用最一般的数学方程描述连续系统外，还可以使用连续系统的微分方程形式对连续系统进行描述，即:

这里分别为连续系统的状态变量、状态变量的微分。对于线性连续系统来说，由连续系统的微分方程描述可以容易地推导出连续系统的状态空间模型。这与使用差分方程对离散系统进行描述相类似。下面举例说明连续系统的数学描述。

【例1】 对于如下的连续系统：

显然此系统为单输入单输出连续系统，且含有输入变量的微分项。由此方程可以很容易得出系统的输出变量为:

连续系统的Simulink描述

前面给出了连续系统的基本概念与系统的基本描述方法：数学方程描述与微分方程描述。本部分使用【例1】给出的连续系统:

说明如何利用Simulink对连续系统进行描述，并在此基础上对连续系统进行简单分析。与前面类似，在此并不建立系统的Simulink模型进行仿真，而是采用编写M脚本文件从原理上对连续系统进行说明，并进行简单的仿真。

【例2】 编写脚本文件systemdemo3.m，对【例1】中的连续系统进行分析。

t=0:0.1:5;      %系统仿真范围，时间间隔为0.1 s
ut=t+sin(t);    %系统输入变量
utdot=1+cos(t); %系统输入变量的导数
yt=ut+utdot;    %系统输出
plot(yt);grid;  %绘制系统输出曲线

下图为此连续系统在时间[0, 5]内的输出曲线。由此可见，使用简单的MATLAB语句可对系统性能进行简单的分析。

线性连续系统

在介绍线性离散系统时，已经给出线性系统的基本概念，这里做一个简单的回顾并介绍线性连续系统的概念。连续系统可以用如下的方式来表达：

【定义】 线性连续系统。

如果一个连续系统能够同时满足如下的性质：

(1) 齐次性。对于任意的参数，系统满足：

(2) 叠加性。对于任意输入变量与，系统满足：

则此连续系统为线性连续系统。

下面举例说明，如对【例1】中的连续系统：

线性连续系统的数学描述

线性连续系统最一般的描述为连续系统的输入输出方程形式，也可以使用连续系统的微分方程模型进行描述：

除了使用这两种连续系统通用的形式描述线性连续系统之外，还可以使用传递函数、零极点模型与状态空间模型对其进行描述。与线性离散系统相类似，线性连续系统的传递函数模型与零极点模型采用连续信号的拉氏变换来实现。

拉氏变换具有如下两个性质：

(1) 线性性。即对于连续信号和，设它们的拉氏变换分别为与，则拉氏变换的线性性是指拉氏变换满足下面的关系：

(2) 设连续信号的u(t)拉氏变换为U(s)，则u'(t)的拉氏变换为sU(s)，u''(t)的拉氏变换为s²U(s)。

同时对等式的两边进行拉氏变换，将其化为分式的形式，则有

这便是系统的传递函数模型。

一般来说，线性连续系统的拉氏变换总可以写成如下传递函数的形式：

将其进行一定的等价变换，可以得出线性连续系统的零极点模型：

其中z1为线性连续系统的零点，p1、p2为系统的极点，k为系统的增益。

线性连续系统的另外一种模型为状态空间模型。前面已经提到，对于线性连续系统，使用其微分方程很容易推导出系统的状态空间模型。这里给出线性连续系统用状态空间模型进行描述的一般方式：

其中， 为线性连续系统的状态变量，分别为系统的输入与输出变量，可以为标量，也可以为向量。下面介绍如何在Simulink中实现对线性连续系统的描述。

线性连续系统的Simulink描述

一般来说，在Simulink中对线性连续系统的描述方式有以下三种：

(1) 线性连续系统的传递函数模型描述：在Simulink中，传递函数表示为num=[n0,n1];den=[d0,d1,d2]; 其中num表示传递函数的分子系数向量，den为分母系数向量。

(2) 线性连续系统的零极点模型描述：在Simulink中，零极点模型表示为gain=k; zeros=z1; poles=[p1,p2];其中gain表示系统增益，zeros表示系统零点，poles表示系统极点。

(3) 线性连续系统的状态空间模型描述：如果系统的状态空间表示为

则在Simulink中直接输入变换矩阵A，B，C，D即可。

一般来说，线性连续系统的不同模型之间可以相互转化，MATLAB中有内置的函数可以完成线性连续系统模型间的转化。我们在线性离散系统模型间转化中已经做了介绍，这里仅列出这些函数原型：

[zeros,poles,k]=tf2zp(num,den);
[num,den]=zp2tf(zeros,poles,k)；
[zeros,poles,k]=ss2zp(A,B,C,D);
[A,B,C,D]=zp2ss(zeros,poles,k)
[num,den]=ss2tfA,B,C,D)
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

【例3】 对于如下采用传递函数模型进行描述的线性连续系统：

要求绘制此系统的Bode图、Nyquist图，并求取系统的零极点模型与状态空间模型描述。

解：在MATLAB中输入下面的语句即可：

>>num=[1, -3];
>>den=[2, -3, -5];
>>w=logspace(-1, 1);
>>subplot(2,1,1); 
>>bode(num, den, w);
>>subplot(2,1,2);
>>nyquist(num,den,w);
>>[zeros, poles, k]=tf2zp(num,den)
>>[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

系统的Bode图与Nyquist图如下图所示。

系统的零极点模型与状态空间模型如下所示：

>>zeros =
3
poles =
2.5000
-1.0000
k =
0.5000
A =
1.5000 2.5000
1.0000 0
B =
1
0
C =
0.5000 -1.5000
D =
0