考研竞赛每日一练 day 19 一道级数含参数的问题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:42:44

2410

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界灰灰的数学与机械世界

一道级数含参数的问题

若

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^2+bn+c}{n!}=0

，求

b+c

【法一】：利用级数项的性质，进行变形有

\begin{align*}\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^2}{n!}&=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{(n-1)!}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n-1+1}{(n-1)!}\\&=\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{(n-2)!}+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(n-1)!}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}+\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}=2e\end{align*}

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n}{n!}=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}=e

由题意知，

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^2+bn+c}{n!}=0

，即

0=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^2+bn+c}{n!}=2e+be+ce=(2+b+c)e\Rightarrow b+c=-2

【法二】：考虑幂级数的和函数，找对应项系数关系，设

f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^2}{n!}x^n+\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{bn+c}{n!}

\begin{align*}\displaystyle f(x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{(n-1)!}x^n+b\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(n-1)!}+ce=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n+1}{n!}x^{n+1}+(b+c)e\\&=x^2\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(n-1)!}x^{n-1}+x\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n!}x^{n}+(b+c)e\\&=x^2e^x+xe^x+(b+c)e=(x^2+x)e^x+(b+c)e\end{align*}

令

x=1

，带入有

f(1)=0

，即

2e+(b+c)e=0\Rightarrow b+c=-2

作者：小熊

写作日期：2021-10-26

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-10-26，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

函数

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

函数

登录后参与评论

0 条评论

热度