考研竞赛每日一练 day 30 利用泰勒故阶来证明一道二重积分的不等式问题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:54:16

3930

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利用泰勒估阶来证明一道二重积分的不等式问题

设

D:x^2+y^2\leq 1

，证明不等式：

\displaystyle \dfrac{61}{165}\pi\leq \iint_{D}\sin\sqrt{(x^2+y^2)^3}dxdy\leq\dfrac{2}{5}\pi

解析：先将直角坐标的积分用极坐标的形式进行表示，利用泰勒展开进行估阶，证明问题。

设

x=r\cos \theta,y=r\sin\theta

，则

\displaystyle \iint_{D}\sin\sqrt{(x^2+y^2)^3}dxd=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}r\sin r^3 dr=2\pi\int_{0}^{1}r\sin r^3dr

注意到

\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)

，即

x > 0

，有

x-\dfrac{x^3}{3!} < \sin x< x

即

r(r^3-\dfrac{r^9}{6})dr < r\sin r^3 < r^4

，左边

\displaystyle 2\pi\int_{0}^{1}r(r^3-\dfrac{r^9}{6})dr=\dfrac{61\pi}{161}

，右边

\displaystyle 2\pi\int_{0}^{1}r^4dr=\dfrac{2}{5}\pi

所以

\displaystyle \dfrac{61}{165}\pi\leq \iint_{D}\sin\sqrt{(x^2+y^2)^3}dxdy\leq\dfrac{2}{5}\pi

明天就是cmc，虽然不能参加，但还是希望大家加油，大家好好做题，好好比赛，把能做的题都做好就够了，不要提前交卷，加油，cmc的伙伴们。

作者：小熊

写作日期：2021-11-12

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原始发表：2021-11-12，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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