考研（大学）数学积分（7）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:32:23

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积分（7）

基础篇

今天基础篇讲的均是广义积分的敛散性 基本知识：敛散判别法，一种是存在下瑕点，一种是区间无穷。总共分为四个定理。

23.讨论

\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}

的敛散性，如果收敛请计算求其值.

解：根据判别法，将区间分为

(0,1)

和

(1,+\infty)

，即

\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}+\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}

对于第一个

\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}(x-0)^\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{x}(1+x)}=1

，可得

\alpha=\dfrac{1}{2}<1

，所以收敛；同理

\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}(x-1)^\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{\sqrt{x}(1+x)}=1

得

\alpha=\dfrac{3}{2}>1

，也收敛。所以原广义积分收敛，

\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}=2\int_{0}^{+\infty}\frac{d(\sqrt{x})}{1+(\sqrt{x})^2}=2\arctan \sqrt{x}\bigg|_{0}^{+\infty}=\pi

解题思路：收敛性的定义，凑微分

24.讨论广义积分

\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{(x-x^2)}}

的敛散性，假如收敛则求其值.

解：这题0和1均是瑕点，同理将区间拆成两份，

(0,\dfrac{1}{2})

和

(\dfrac{1}{2},1)

；

\displaystyle\underset{x\rightarrow0^+}{\lim}(x-0)^\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(x-x^2)}}=1

得

\alpha=\dfrac{1}{2}<1

，收敛；同理

\underset{x\rightarrow1^-}{\lim}(x-1)^\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(x-1)x}}=\underset{x\rightarrow1^-}{\lim}\frac{1}{\sqrt{x}}=1

，且

\alpha=\dfrac{1}{2}<1

收敛。所以原广义积分收敛，

\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{(x-x^2)}}=2\int_{0}^{1}\frac{d(\sqrt{x})}{\sqrt{(1-(\sqrt{x})^2)}}=2\arcsin\sqrt{x}\bigg|_{0}^{1}=\pi

解题思路：同上题，收敛的定义，注意左右均是瑕点。

提高篇

提高篇讲的关于定积分的证明问题，主要利用函数的单调性以及放缩法 基本知识：定积分定义，定积分的划分与区间无关，函数单调性，以及放缩法

55.设

f(x)

在

[a,b]

上连续且单调增加，证明：

\displaystyle\int_{a}^{b}xf(x)dx\geq\frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}f(x)dx

解：构造函数

G(x)=(x-\dfrac{a+b}{2})\left[f(x)-f(\dfrac{a+b}{2})\right]dx

，由于f(x)在区间上递增，则

\displaystyle\int_{a}^{b}G(x)\geq 0

，则

\begin{align*}\displaystyle\int_{a}^{b}G(x)&=(x-\frac{a+b}{2})[f(x)-f(\frac{a+b}{2})]dx \\&=\int_{a}^{b}(x-\frac{a+b}{2})dx-f(\frac{a+b}{2})\int_{a}^{b}(x-\frac{a+b}{2})dx\\&=\int_{a}^{b}xf(x)dx-\frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}f(x)dx\end{align*}

所以得证

\displaystyle \int_{a}^{b}xf(x)dx\geq\frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}f(x)dx

解题思路：直接构造函数，利用单调性。

56.设

f(x)

在

(0,+\infty)

内连续且单调递减，证明：

\displaystyle\int_{1}^{n+1}f(x)dx\leq \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{f(k)}\leq f(1)+\int_{1}^{n}f(x)dx

解：由

\displaystyle\int_{1}^{n+1}f(x)dx=\int_{1}^{2}f(x)dx+\int_{2}^{3}f(x)dx+\dotsb+\int_{n}^{n+1}f(x)dx

当

x\in(1,2)

时，

f(x)

单调递减，

f(x)\leq f(1)

，两边同时积分，

\displaystyle\int_{1}^{2}f(x)dx\leq f(1)

，同理

\displaystyle\int_{2}^{3}f(x)dx\leq f(2)...

，左边相加，右边也想加，得

\int_{1}^{n+1}f(x)dx\leq \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{f(k)}

右边当

x\in(1,2)

时，

f(2)\leq f(2),

同理进行积分，

f(2)\leq f(x)

，以此类推，

\displaystyle f(3)\leq \int_{2}^{3}f(x)dx ...

，相加得

\displaystyle f(2)+f(3)+\dotsb+f(n)\leq \int_{1}^{n}f(x)dx

，所以

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{f(k)}\leq f(1)+\int_{1}^{n}f(x)dx

得证。

解题思路 ：函数的单调性，放缩法，注意区间的位置，定积分的定义。

作者：小熊

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