考研（大学）数学多元函数微分学（2）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:33:42

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多元函数的微积分（2）

求偏导类型：

显函数求偏导 2.复合函数求偏导 3.隐函数存在定理以及隐函数求导类型 4.变换求偏导

1.显函数求偏导知识点：显函数对一个求导将另外一个变量看成常数就可以。

设

\displaystyle z=\arctan\frac{x-y}{x+y}

，求

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}

解：

\displaystyle\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{1+(\dfrac{x-y}{x+y})^2}\times\dfrac{2y}{(x+y)^2}=\dfrac{y}{x^2+y^2}

同理，

\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{1}{1+(\dfrac{x-y}{x+y})^2}\times\dfrac{-2x}{(x+y)^2}=-\dfrac{x}{x^2+y^2}

设

z=e^{x^2+y^2}\sin xy

，求

\dfrac{\partial z}{\partial x}

，

\dfrac{\partial z}{\partial y}

，

\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}

解：依照上题，

\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=2xe^{x^2+y^2}\sin xy+ye^{x^2+y^2}\cos xy=(2x\sin xy+y\cos xy)e^{x^2+y^2}

\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=2ye^{x^2+y^2}\sin xy+xe^{x^2+y^2}\cos xy

\displaystyle\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{(\dfrac{\partial z}{\partial x})}{\partial y}=4xye^{x^2+y^2}\sin xy+4x^2e^{x^2+y^2}\cos xy+e^{x^2+y^2}\sin xy+2y^2e^{x^2+y^2}\sin xy-xye^{x^2+y^2}\sin xy

2.复合求导

设

e^{u+v^2}

，其中

u=\ln t,v=\sin t

，求

\dfrac{ dz}{dt}

解：由定义知

\displaystyle\frac{dz}{dt}=\frac{dz}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dt}=e^{u+v^2}\cdot \frac{1}{t}+2ve^{v^2}\cdot \cos t

3.隐函数求导以及隐函数存在原理有两种情况，单变量和多变量。

设

z=z(x,y)

是由函数

\ln\sqrt{x^2+^2+z^2}=xyz+1

确定，求

\dfrac{\partial z}{\partial x}

解：两边同时对

进行求导，

\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot\dfrac{2x+2z\dfrac{\partial z}{\partial x}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=yz+xy\dfrac{\partial z}{\partial x}

，整理得

\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{yz(x^2+y^2+z^2)-x}{z-xy(x^2+y^2+z^2)}

设

z=f(x,y)

是由方程

z-y-x+xe^{z-x-y}=0

，求

解：显然题目求得是

的全微分，

dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}dy

，可知求

对

x,y

的偏导数即可，两边对

求偏导。

\dfrac{\partial z}{\partial x}-1+e^{z-x-x}+xe^{z-y-x}\dfrac{\partial z}{\partial x}

，整理的

\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1+(x-1)e^{z-y-x}}{1+xe^{z-x-y}}=0

，同理对

求偏导，

\dfrac{\partial z}{\partial y}-1=0

，得

\dfrac{\partial z}{\partial y}=1

，故得

dz=\dfrac{1+(x-1)e^{z-y-x}}{1+xe^{z-y-x}}dx+dy

4.变换求偏导将原函数换元之后进行求偏导

4.设

z=z(x,y)

满足：

\dfrac{\partial z}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}

，且

u=x+y,v=xy

将方程化为

关于

u,v

的方程。

解：首先根据

\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}+y\frac{\partial z}{\partial v}

，同理

\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}+x\frac{\partial z}{\partial v}

，有等式，带入得

2\dfrac{\partial z}{\partial u}+(x+y)\dfrac{\partial z}{\partial v}=\dfrac{(x+y)^2-2xy}{xy}

，得

\displaystyle2\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{u^2-2v}{v}

4.设变换

u=x-2y,v-x+ay

可以把方程

\displaystyle6\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z }{\partial x^2}=0

简化为

\displaystyle\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=0

，其中

为二阶连续可偏导，求常数

解:根据

u,v

看成变量的话，

是

x,y

的函数，则

\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}

，

\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}

，同理对

\displaystyle\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 z}{\partial u^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^2 z}{\partial u\partial v}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial^2 z}{\partial v\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^2 z}{\partial v^2}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+2\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}+\frac{\partial^2 z}{\partial v^2}

，

\displaystyle\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial u^2}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial ^2 z}{\partial u\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial^2 z}{\partial v\partial u}\frac{\partial u}{y}+\frac{\partial^2 z}{\partial v^2}\frac{\partial v}{\partial y}=-2\frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+(a-2)\frac{\partial^2 z}{\partial u\partial v}+a\frac{\partial^2 z}{\partial v^2}

，

\displaystyle\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}\frac{\partial u}{\partial y}-2\frac{\partial^2 z}{\partial v\partial u}\frac{\partial v}{\partial y}+a\frac{\partial^2 z}{\partial v\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+a\frac{\partial^2 z}{\partial v^2}\frac{\partial v}{\partial y}=-4a\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}+a^2\frac{\partial^2 z}{\partial v^2}

，带入原式，可以得到

\displaystyle(10+5a)\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}+(6-a-a^2)\frac{\partial z^2}{\partial v^2}=0

，得到

10+5a\neq 0,6-a-a^2=0

，解得

a=2

作者：小熊

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