（四）《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

目录

基本运算

证明

异或运算

定义

性质

基本定理

代入定理

反演定理

规则

对偶定理

        这一节基本上就是一些与或的运算，在《离散数学》中，与或其实就是合取以及析取，所以百分之九十的东西都是与离散数学类似的，在此就不做过于详细的介绍。

基本运算

        基本运算包括与或非，这个地方使用与离散数学不同的符号来表示，具体如下所示：

除此之外，还有相应的电路符号与之对应，如下所示：

        值得注意的是，图形符号分为国标与国际两种写法。 

        然后我们先来看一看一些基本定理（可以通过对偶定理得到另一半，后面会介绍），我会给出一部分的证明，感兴趣的同学可以证明剩下的。 

        值得注意的是，反演律是特别重要的一条定理，也叫做德.摩根 定理; (A*)*中的*是对偶的意思，在后面会介绍。

证明

异或运算

这部分在离散数学中没有提到很多，我们来详细介绍一下。

定义

        注：A ⊙ B ⊙ C =A ⊕ B ⊕ C，由归纳法可得出推论：偶数个变量同或的结果与异或的结果互非；奇数个变量同或的结果与异或的结果相等。

性质

基本定理

        基本定理包含代入定理，反演定理，对偶定理，接下来我们就来一一介绍一下。

代入定理

       所谓代入定理，是指在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。我们来简单运用一下，证明一下德摩根定理的拓展形式。

反演定理

        所谓反演定理，是指对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的 “ · ” 换成 “+”，“+”换成“ · ”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y' 。

规则

1. 遵守“先括号，然后乘，最后加”
2. 不属于单个变量上的反号应保留不变

对偶定理

        若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。

        所谓对偶式，即：对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则可得到一个新的逻辑式Y*， Y*即为Y的对偶式，或者Y与Y*互为对偶式 。

    要注意反演定理和对偶定理的相似点与不同点。

        好了，我们先介绍到这，之后还会继续补充学习内容。