命题逻辑的推理规则

推理

def: 设 A 和 B 是两个命题公式，当且仅当 A\rightarrow B 是 重言式 时称由 A 可推出 B , 或 B 是前提 A 的结论，记为：A\Rightarrow B, 读作如果 A 为真那么 B 为真。

推理方法

证明前提 A 推出结论 B 的方法有三种：

• 真值表法
• 等值演算法(利用等值式)
• 在自然推理系统 P 中用推理规则证明（重点）

推理规则：

以下规则虚熟记于心, 下述 逗号 可以理解成 并且

• 化简律：p\wedge q\Rightarrow p, p\wedge q\Rightarrow q；
• 附加律：p\Rightarrow p\vee q,q\Rightarrow p\vee q
• 假言推理：p, p\rightarrow q \Rightarrow q
• 拒取式：p\rightarrow q,\neg q\Rightarrow \neg p
• 析取三段论：p\vee q,\neg p\Rightarrow q
• 合取式：p,q\Rightarrow p\wedge q
• 假言三段论：p\rightarrow q,q\rightarrow r\Rightarrow p\rightarrow r (传递性)
• 等价三段论：p\leftrightarrow q,q\leftrightarrow r\Rightarrow p\leftrightarrow r(传递性)
• 构造性二难：p\rightarrow q,r\rightarrow s,p\vee r \Rightarrow q\vee s
• 归结式：p\vee q,\neg p\vee s \Rightarrow q\vee s

推理证明的一般步骤：

例 1：证明下述式子：

例 2： 给出下述推论的形式化证明

• 若马会飞或羊吃草，则母鸡就会变飞鸟；
• 如果母鸡变飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；
• 烤熟的鸭子不会跑，所以羊儿不吃草。

proof: 命题符号化：找到原子命题 令：

• p：马会飞
• q：羊吃草
• r：母鸡变飞鸟
• s：烤熟的鸭子还会跑

故上述命题符号化为： 前提：(p\vee q)\rightarrow r,r\rightarrow s,\neg s 结论：\neg q

一般证明法：

⚡️用归谬法 (反证法) 证明： 🔅思想：将结论否定，在由此推出矛盾

例 3： 🌞用 附加前提法 证明下述命题：

• 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；
• 小赵不去看电影或小张不去看电影，小王去看电影；
• 所以当小赵去看电影时，小李也去看电影。

proof: 命题符号化：找到原子命题 令：

• p：小张去看电影
• q：小王去看电影
• r：小李去看电影
• s：小赵去看电影

前提：p\wedge q\rightarrow r,\neg s\vee p,q 结论：s\rightarrow r

⭐️附加前提法： 若结论为 s\rightarrow r , 可以把 s 放到前提中，推证 r 成立即可。