【集合论】集合概念与关系 ( 集合表示 | 数集合 | 集合关系 | 包含 | 相等 | 集合关系性质 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 09:56:06

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一、集合论体系

集合论体系 :

朴素集合论 : 包含悖论 ; 朴素集合论中不能精确定义集合 ;
公理集合论 : 为了消除朴素集合论中的悖论 , 所建立的公理集合论 ; 公理集合论比较严密 , 通过一组公理描述什么是集合 ;

二、集合表示

集合表示 : 使用大写字母表示集合 , 小写字母表示集合中的元素 ;

列举法 : 列举出集合中的所有元素 , 元素之间使用逗号分开 , 使用花括号 “{}” 括起来 ; 如 :

A = \{0, 1, 2, 3\}

B = \{0, 1, 2, 3, \cdots\}

描述法 : 使用谓词

P(x)

表示

具有性质

, 使用

\{x | P(x)\}

表示具有性质

的集合 ;

P(x)

表示

是英文字母 ,

\{ x | P(x) \}

表示英文字母集合 ;

P(x)

表示

是偶数 ,

\{ x | P(x) \}

表示偶数集合 ;

集合表示注意事项 :

不重复 : 集合中不能有重复元素 ;

无顺序 : 集合中的元素是无序的 ;

集合表示方法转化 : 集合的表示方法可以互相转化 , 描述法和列举法可以互相转化 ;

表示方法转化示例 :

列举法 :

A=\{ 0, 2, 4 , 6 , \cdots \}

描述法 :

A = \{ x | x \geq 0 并且 x 是偶数 \}

三、数集合

自然数集合 :

N = \{ 0, 1 , 2 , \cdots \}

整数集合 :

Z = \{ 0, \pm 1 , \pm 2 , \cdots \}

有理数集合 :

实数集合 :

复数集合 :

三、集合关系

集合关系有包含关系 , 相等关系 , 另外关系的性质有自反省 , 反对称性性 , 传递性 ;

1、包含关系

集合的包含关系 :

描述 :

A, B

两个集合 , 如果

中的元素都是

中的元素 , 称

集合是

集合的子集 ,

包含

包含于

;

记作 :

B \subseteq A

符号化形式 :

B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \to x \in A )

, 对于所有的对象 , 只要属于

集合 , 就属于

集合 ;

集合的不包含关系 :

描述 : 如果集合

不是集合

的子集

记作 :

B \not\subseteq A

;

符号化形式 :

B \not\subseteq A \Leftrightarrow \exist x ( x \in B \land x \not\in A )

, 对于所有的对象 , 存在对象属于

集合 , 不属于

集合 ;

包含示例 :

A = {1, 2, 3, 4}

B = {1, 2, 3}

C = {1, 2}

有

C \subseteq B

C \subseteq A

B \subseteq A

2、相等关系

集合的相等关系 :

描述 :

A, B

两个集合 , 如果

包含

, 并且

包含

, 则称

与

相等 ;

记作 :

A = B

符号化表示 :

A = B \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \leftrightarrow x \in A )

3、集合间包含关系性质

集合间包含关系性质 : 下面的

A, B, C

是三个集合 , 以下的命题是真命题 ;

自反性 :

A \subseteq A

, 集合真包含它自己 ;

反对称性 : 若

A \subseteq B

且

B \not= A

, 则

B \not\subseteq A

( 该性质等价于若

A \subseteq B

且

B \subseteq A

, 则

A = B

)

传递性 : 若

A \subseteq B

且

B \subseteq C

, 则

A \subseteq C

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原始发表：2020-09-29，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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