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一、偏序关系
偏序关系 :
给定非空集合
A ,
A \not= \varnothing ,
R 关系是
A 集合上的二元关系 ,
R \subseteq A \times A ,
如果
R 关系满足以下性质 :
- 自反 : 关系图中所有顶点 都有环 ;
- 反对称 : 两个顶点之间 有
0 个或
1 个有向边 ;
a \to b , b\to c 不成立 默认传递 ; 前提
a \to b , b\to c 成立 必须满足
a \to c 存在 ;
则称
R 关系是
A 集合上的 偏序关系 ;
偏序关系表示 : 使用
\preccurlyeq 符号表示偏序关系 , 读作 “小于等于” ;
符号化表示 :
<x,y> \in R \Leftrightarrow xRy \Leftrightarrow x \preccurlyeq y , 解读 :
<x,y> 有序对在偏序关系
R 中 , 则
x 与
y 之间有
R 关系 ,
x 小于等于
y ;
等价关系 是用于 分类 的 , 偏序关系 是用于 组织 的 , 在每个类的内部 , 赋予一个结构 ;
二、偏序集
偏序集 :
\preccurlyeq 关系 是
A 集合上的偏序关系 , 则称 集合
A 与 偏序关系
\preccurlyeq 构成的 有序对
<A, \preccurlyeq> 称为偏序集 ;
如果集合上有偏序关系 , 那么这个集合就称为偏序集 ;
三、偏序关系示例 ( 大于等于、小于等于、整除 | 有序对元素是单个数值 )
大于等于、小于等于、整除关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 单个数值元素 ;
1. 大于等于、小于等于关系
\varnothing \not=A \subseteq R , 非空集合
A , 是实数集
R 的子集 ;
集合
A 上的大于等于关系 , 小于等于关系 , 都是偏序关系 , 这两个关系都满足 自反 , 反对称 , 传递 关系 ;
偏序集表示为 :
<A , \leq> , <A, \geq>大于等于关系集合表示 :
\geq = \{<x, y>\ | x,y \in A \land x \geq y \}小于等于关系集合表示 :
\leq = \{<x, y>\ | x,y \in A \land x \leq y \}2. 整除关系
\varnothing \not=A \subseteq Z_+ = \{ x | x \in Z \land x > 0 \} , 非空集合
A , 是正整数集
Z_+ 的子集 ;
集合
A 上的 整除关系 是偏序关系 , 整除关系都满足 自反 , 反对称 , 传递 关系 ;
偏序集表示为 :
<A , |>整除关系集合表示 :
|= \{<x, y>\ | x,y \in A \land x | y \}
x 整除
y ,
x|y ,
x 是除数 (分子) ,
y 是被除数 (分母) ;
\dfrac{y}{x} 参考 : 【集合论】二元关系 ( 特殊关系类型 | 空关系 | 恒等关系 | 全域关系 | 整除关系 | 大小关系 ) 三、 整除关系
四、偏序关系示例 2 ( 包含关系 | 有序对元素是集合 )
包含关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集合 ;
集族
\mathscr{A} 包含于
A 集合的幂集 ,
\mathscr{A}\subseteq P(A) ;
包含关系 ,
x 包含于
y , 符号化表示 :
\subseteq = \{<x,y> | x,y \in \mathscr{A} \land x \subseteq y \}包含关系举例 :
前提 :
A = \{ a, b \}\mathscr{A}_1 = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} \}\mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \}\mathscr{A}_3 = P(A) = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ a , b \} \} , 该集族也是
A 的幂集 ;
使用有序对表示以下的包含关系 , 每个有序对的元素都是集合 ;
① 集族
\mathscr{A}_1 上的所有包含关系 :
\subseteq_1 = I_{\mathscr{A}_1} \cup \{ <\varnothing , \{ a \}> , <\varnothing , \{ b \}> \}集族上的恒等关系是包含关系 , 任意集合都包含于该集合本身 ;
空集包含于任意非空集合 ;
② 集族
\mathscr{A}_2 上的所有包含关系 :
\subseteq_2 = I_{\mathscr{A}_2} \cup \{ <\{ a \}, \{ a, b \}> \}集族上的恒等关系是包含关系 , 任意集合都包含于该集合本身 ;
\{ a \} 集合包含于
\{ a, b \} 集合 ;
③ 集族
\mathscr{A}_3 上的所有包含关系 :
\subseteq_3 = I_{\mathscr{A}_3} \cup \{ <\varnothing , \{ a \}> , <\varnothing , \{ b \}> , <\varnothing , \{ a,b \}> , \{ <\{ a \}, \{ a, b \}> \} , \{ <\{ b \}, \{ a, b \}> \} \}集族上的恒等关系是包含关系 ;
空集包含于任意非空集合 ;
\{ a \} 集合包含于
\{ a, b \} 集合 ;
\{ b \} 集合包含于
\{ a, b \} 集合 ;
五、偏序关系示例 3 ( 加细关系 | 有序对元素是集族 )
加细关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集族 ;
集合
A 非空 ,
\pi 是
A 集合划分组成的集合 , 每个划分都是一个集族 ;
划分参考 : 【集合论】划分 ( 划分 | 划分示例 | 划分与等价关系 )
集族之间有一种关系 , 加细关系 , 使用符号
\preccurlyeq_{加细} 表示 ;
加细关系
\preccurlyeq_{加细} 符号化表示 :
\preccurlyeq_{加细} = \{ <x, y> | x, y \in \pi \land x 是 y 的加细 \}前提 :
A = \{ a, b , c \}\mathscr{A}_1 = \{ \{ a , b , c \} \}\mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ b , c \} \}\mathscr{A}_3= \{ \{ b \} , \{ a , c \} \}\mathscr{A}_4= \{ \{ c \} , \{ a , b \} \}\mathscr{A}_5= \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} \}上述集族都是
A 集合的划分 ;
划分组成的集合 , 形成新的集合 ;
\pi_1 = \{ \mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_2 \}\pi_2 = \{ \mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3 \}\pi_3 = \{ \mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_4, \mathscr{A}_5 \}①
\pi_1 集合中的划分元素的加细关系 :
\preccurlyeq_1 = I_{\pi1} \cup \{<\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1>\}每个划分都是它自己的加细 ;
\mathscr{A}_2 是
\mathscr{A}_1 的加细 ,
\mathscr{A}_2 小于等于
\mathscr{A}_1 ;
②
\pi_2 集合中的划分元素的加细关系 :
\preccurlyeq_2 = I_{\pi2}每个划分都是它自己的加细 ;
\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3 互相都不是对方的加细 ;
③
\pi_3 集合中的划分元素的加细关系 :
\preccurlyeq_3 = I_{\pi3} \cup \{<\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_3, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_4, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_2> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_3> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_4> \}每个划分都是它自己的加细 ;
任何划分都是
\mathscr{A}_1 的加细 ;
\mathscr{A}_1 是最大的 , 大于等于其它任何划分 ;
\mathscr{A}_5 是任何划分的加细 ;
\mathscr{A}_5 是最小的 , 小于等于其它任何划分 ;
