刚体运动和坐标变换-1

刚体运动和坐标变换-1

基础代数

外积：

和

两个向量的外积代表一个垂直这两个向量的向量，大小为

其中,

是互相正交的基底向量。

我们可以将外积的形式写成矩阵乘以向量的形式，即：a的反对称矩阵左乘b

反对称矩阵

，满足

欧式变换

两个坐标系之间的变换，可以被解释成旋转加上平移。

旋转矩阵 ：旋转矩阵可以表示向量的旋转，其本质是两个坐标系基底之间的内积构成的矩阵

SO(n) 是特殊正交群， 这个集合包含所有n维的旋转矩阵，行列式为1，并且都是正交矩阵。

正交矩阵，即

平移可以用一个向量

来表示

整个欧式变换，可以理解成：

齐次坐标和变换矩阵

为了将平移和旋转融合成一个式子，我们将欧式变换写成如下形式：

其中，我们扩展了向量

变成四维，称之为 齐次坐标，矩阵

称之为 变换矩阵

同样的，变换矩阵构成的集合，称之为 特殊欧式群

变换矩阵的逆，也可以简单求出，即：

Rodrigues's Formula

Rodrigues's Formula 是将旋转矩阵

, 变换成旋转轴

和旋转角

的形式:

更进一步地，我们可以使用旋转矩阵的迹，来计算旋转角：

四元数

旋转矩阵用9个变量来描述三个自由度的旋转，具有冗余性，由于我们找不到无歧义的三维旋转表示，我们引入四元素来进行旋转的表示

注意到复数的乘法，表示复平面上的旋转，比如我们对复向量乘一个虚数

，就等于逆时针旋转90度。

比如，对于复数向量

, 代表实数轴上的一个向量

, 代表虚轴正方向的一个向量，即逆时针旋转90度

四元数可以表示为，一个实部 + 三个虚部：

三个虚部满足：

我们可以将四元数记作实部和虚部的向量表示，即：

四元数的运算

不妨记，

其中,

• 加减法：

• 乘法:

• 模长：

• 共轭：

• 逆：

用四元数表示旋转

假设有一个三维空间点

, 和一个单位四元数

指定的旋转，记旋转后的点为

，我们有矩阵描述：

我们将三维空间点，记成一个虚四元数，即：

则旋转后的点，可以被表示成：

这个点也是一个虚四元数

Proof: 假设旋转四元数为

, 可得

从而：

注意到，

的结果是和

以及

都垂直，所以