【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换定义详细分析 | 证明单位复指数序列正交完备性 | 序列存在傅里叶变换的性质 | 序列绝对可和 → 序列傅里叶变换一定存在 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 12:03:24

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发布于 2023-03-30 12:03:24

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一、序列傅里叶变换定义详细分析

序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;

x(n)

信号是离散非周期的 , 那么其傅里叶变换一定是连续周期的 ;

x(n)

是绝对可和的 , 满足如下条件 :

\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|< \infty

连续周期的傅里叶变换 , 可以展开成正交函数线性组合的无穷级数和 :

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}

就是

x(n)

的序列傅里叶变换 SFT ;

\omega

X(e^{j \omega})

是实的连续的变量

\omega

的复函数 , 其可以表示成实部和虚部 ;

X(e^{j\omega}) = X_g(e^{j\omega}) + jX_l(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}

|X(e^{j\omega})|

模是其 " 幅频特性 " ,

e^{j\theta(\omega)}

相角是其 " 相频特性 " ,

其中

\theta(\omega) = \arg(X(e^{j\omega}))

二、证明单位复指数序列正交完备性

证明如下 " 单位复指数序列 " 是 " 正交完备集 "

\{ e^{-j \omega n} \}

其中

n = 0 , \pm 1 , \pm2 , \cdots

证明正交完备性方法

e^{-j \omega n}

函数 , 乘以该函数的共轭

(e^{-j \omega n})^*

, 然后在一个周期中求积分 , 计算结果如下 :

\int_{-\pi}^\pi e^{-j \omega n} (e^{-j \omega n}) ^* d \omega =\begin{cases}2\pi & m = n \\\\ 0 & m \not= n \end{cases} \ \ \ \ ①

在上述计算结果的前提下 , 推导

x(n)

和

X( e^{j \omega } )

之间的关系 :

X( e^{j \omega } ) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) e^{-j \omega n} \ \ \ \ ②

将 ② 式中 , 在等式两边都乘以

e^{j \omega k}

, 然后对

\omega

在

-\pi

\pi

之间进行积分得到 :

\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega = \int_{-\pi} ^\pi \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) e^{-j \omega n} e^{j \omega k} d \omega

将 "

\sum

求和 " 与 "

\int

积分 " 交换位置 ,

\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) \int_{-\pi} ^\pi e^{-j \omega n} e^{j \omega k} d \omega

根据 ① 式子的推导结果 ,

只有当

n = k

时 ,

\int_{-\pi}^\pi e^{-j \omega n} (e^{-j \omega n}) ^* d \omega = 2\pi

n \not= k

时 ,

\int_{-\pi}^\pi e^{-j \omega n} (e^{-j \omega n}) ^* d \omega = 0

\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega =\begin{cases}2\pi x(k) & n=k \\\\ 0 & n \not= k \end{cases}

将

2\pi

除到左边 , 即可得到下面的式子 :

x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega

是

X(e^{j \omega})

的序列傅里叶反变换 ISFT ;

三、序列存在傅里叶变换的性质

x(n)

序列存在 " 序列傅里叶变换 SFT " 的充分条件是 "

x(n)

序列绝对可和 " :

\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)| < \infty

|X( e^{j \omega } )| = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) e^{-j \omega n} \leq \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)| < \infty

注意上述是充分条件 ,

如果 "

x(n)

序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;

如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 "

x(n)

序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入广义函数

\delta(\omega)

后 , 其傅里叶变换也存在 ;

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原始发表：2022-03-06，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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