【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | 实序列的幅频特性偶对称 | 实序列相频特性奇对称 | 示例说明 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 05:12:38

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一、实序列的幅频特性和相频特性对称性质

如果

x (n)

$x(n)$

序列是 " 实序列 " , 则有 :

X (e^{j ω}) = X^{*} (e^{- j ω})

$X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega})$

" 实序列 " 的 " 幅频特性 ( 傅里叶变换取绝对值 ) " 是偶对称的 ,

" 实序列 " 的 " 相频特性 ( 相角 ) " 是奇对称的 ;

上述概念适用于连续傅里叶变换 , 离散傅里叶变换 , 序列傅里叶变换 ;

二、性质由来

x (n)

$x(n)$

序列的实部

x_{R} (n)

$x_R(n)$

的傅里叶变换 , 就是

x (n)

$x(n)$

的傅里叶变换

X (e^{j ω})

$X(e^{j \omega})$

的共轭对称序列

X_{e} (e^{j ω})

$X_e(e^{j \omega})$

;

x_{R} (n)

$x_R(n)$

的傅里叶变换

X_{e} (e^{j ω})

$X_e(e^{j \omega})$

具备共轭对称性 ;

x_{R} (n) S F T ⟷ X_{e} (e^{j ω})

$x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega})$

任意一个 " 实序列 " , 其傅里叶变换 , 一定是共轭对称的 ;

共轭对称性质中 , 实部偶对称 , 虚部奇对称 , 模偶对称 ,

其中模就是幅频特性 ,

相角奇对称 , 相角是相频特性 ;

上述对称性质 , 可以参考【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 共轭对称与共轭反对称图像示例 | 实序列中共轭对称是偶对称 | 实序列中共轭反对称是奇对称 ) 博客中的图像示例 ;

三、示例说明

下图是矩形窗函数的频谱 ( 幅频特性 / 傅里叶变换取模 ) :

矩形窗高度是

20

$20$

, 关于

0

$0$

点偶对称 ;

下图是矩形窗函数的相频特性 ( 相角 ) : 关于

0

$0$

原点奇对称 ;

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