Fama-French三因子回归A股实证（附源码）
01
三因子回归模型
Fama-French三因子回归是量化中最经典的模型之一，最早提出是在论文《Common risk factors in the returns on stocks and bonds》中，FAMA三因子回归模型可表示如下
其中，rt为投资组合的收益率，rf为无风险收益率，SMB为规模因子，HML为账面市值比因子，MKT为市场因子。
Fama-French三因子回归通过计算上述的三个因子，对股票的收益来源进行了分解。本文基于这篇论文，在A股上实现Fama-French三因子回归全流程。论文及源码数据的获取方式见文末。
02
解释变量
解释变量为三个因子SMB、HML、MKT，先贴上论文中因子定义原文，当然如果你不想看英语，可以跳过看后面我给的说明。
股票按规模分组
股票按账面市值比分组
分组后计算SMB、HML
MKT定义
总结一下
- 每年五月末，将股票按市值等分为两组Big（B）、Small(S），将账面市值比按30%、40%、40%分为三组Low（L）、Middle（M）、High(H)。上述分组组合之后可以得到六个组合：B/L、B/M、B/H、S/L、S/M、S/H。作者提到之所以规模分两组，账面市值比分三组是考虑到账面市值比的效果更强（黄色部分）。
- 计算这六个组合的市值加权收益率（Value-weighted return) ,作者提到计算市值加权收益率一方面是为了最小化方差，另一方面可以捕捉到大市值和小市值股票的不同特征。
- HML、SMB因子定义如下
公式中左边代表每个组合的市值加权收益率，HML、SMB分别刻画了规模因子和账面市值比因子的风险溢价。
- MKT因子定义为RM-RF，其中RM为全市场股票市值加权收益率,RF是无风险利率
以上是解释变量的定义。
03
被解释变量
被解释变量为投资组合的收益率，作者使用doublesort的方法构建了25个投资组合（关于doublesort可以看往期推文：因子评估——双重排序）。
还是先给出论文的定义
总结一下，其实和前文自变量分组的方式是一样的，每年的5月末进行分组，只不过这一次对市值和账面市值比都分别分成5等分，组合之后得到25个投资组合，并计算这25个投资组合的市值加权收益率，作为因变量。
以上就是本文模型部分的全部说明，论文中还讨论了一些其他处理细节，有兴趣可以看看。
在定义好了自变量和因变量之后，就可以做25次回归，对结果进行分析。接下来用A股数据进行实证分析。
04
FF3因子的A股实证
先说明使用的数据
- HML、SMB、因变量：使用2009年-2019年全A股月度数据进行计算（用其他频率也可）
- MKT：MKT的计算比较简单，直接使用中国资产管理研究中心提供的数据了，当然如果想自己算的话，RM可以考虑用中证全指的收益率，RF可以用10年期国债到期收益率。
数据格式如下，如果你有其他数据源，处理成如下的形式，可以直接使用本文的代码
价格数据
估值数据
市值数据
MKT因子
接下来是实证部分，首先把账面市值比BM和市值mkt数据拼在一起，然后剔除新股和ST股，让结果稳健一些，当然也可以不剔。
price = pd.read_csv('复权价格.csv')
ST = pd.read_csv('ST.csv')
pb = pd.read_csv('PB.csv')
mkt = pd.read_csv('mkt.csv')
ipodate = pd.read_csv('上市日期.csv')
# 日期处理
price['tradedate'] = pd.to_datetime(price.tradedate)
ST['entry_dt'] = pd.to_datetime(ST.entry_dt)
ST['remove_dt'] = pd.to_datetime(ST.remove_dt)
mkt['tradedate'] = pd.to_datetime(mkt.tradedate)
pb['tradedate'] = pd.to_datetime(pb.tradedate)
ipodate['ipodate'] = pd.to_datetime(ipodate.ipodate)
BM = pb.copy()
BM['BM'] = 1/BM.pb
BM = BM.drop(['pb'],axis = 1)
f = pd.merge(BM,mkt,left_on = ['tradedate','stockcode'],right_on = ['tradedate','stockcode'])
# 踢PB为负的
f = f.loc[f.BM > 0].reset_index(drop = True)
# 踢新股：上市不满一年
ipodate['entry_date'] = ipodate.ipodate + datetime.timedelta(365)
f = pd.merge(f,ipodate,left_on = ['stockcode'],right_on = ['stockcode'])
f = f.loc[f.tradedate >= f.entry_date].reset_index(drop = True)
f = f.drop(['ipodate','entry_date'],axis = 1)
# 剔ST
res =[]
for dates in f.tradedate.unique(): # dates = f.tradedate.unique()[10]
fuse = f.loc[f.tradedate == dates]
st_use = ST.loc[ST.entry_dt <= dates]
st_use = st_use.loc[(st_use.remove_dt > dates) | pd.isnull(st_use.remove_dt)]
scode_notst = set(fuse.stockcode).difference(set(st_use.stockcode))
fuse = fuse.set_index(['stockcode']).loc[scode_notst].reset_index()
res.append(fuse)
res = pd.concat(res,axis = 0)
f = res.reset_index(drop = True)接下来生成6个投资组合：每年5月末，按市值分为两组，按账面市值比生成三组。以上过程通过函数split_SIZE和split_BM实现，通过apply和groupby得到每一期的分组。
f['ym'] = f.tradedate.apply(lambda x:x.year*100 + x.month)
f_5 = f.loc[f.ym %10 ==5].copy()
def split_BM(x):
x.loc[x['BM'] >= x.BM.quantile(0.7),'group_BM'] = 'H'
x.loc[x['BM'] < x.BM.quantile(0.3),'group_BM'] = 'L'
return x
def split_SIZE(x):
x.loc[x['mkt'] >= x.mkt.median(),'group_SIZE'] = 'B'
return x
f_5['group_BM'] = 'M'
f_5 = f_5.groupby(['ym']).apply(split_BM)
f_5 = f_5.reset_index(drop = True)
f_5['group_SIZE'] = 'S'
f_5 = f_5.groupby(['ym']).apply(split_SIZE)
f_5 = f_5.rename(columns = {'ym':'portfolio_dates'})
f_5 = f_5[['stockcode','portfolio_dates','group_BM','group_SIZE']]
f['portfolio_dates'] = f.tradedate.apply(lambda x:x.year*100 + 5 if x.month > 5 else (x.year - 1)*100 + 5)
f = pd.merge(f,f_5,left_on =['stockcode','portfolio_dates'],right_on =['stockcode','portfolio_dates'])
f = f.reset_index(drop = True)
f['portfolio_name'] = f.group_SIZE + '/' + f.group_BM运行结果如下
其中，portfolio_name代表股票对应的组别。以2009年6月为起点，计算这六个组合的市值加权收益率
# 计算六个组合的月度value weighted return
ret = price.pivot(index = 'tradedate',columns = 'stockcode',values = 'price').pct_change(1).shift(-1).fillna(0)
ret = ret.stack().reset_index()
ret = ret.rename(columns = {ret.columns[2]:'ret'})
sdate = datetime.date(2009,5,1)
f = f.loc[f.tradedate >= sdate].reset_index(drop = True)
f = pd.merge(f,ret,left_on =['stockcode','tradedate'],right_on =['stockcode','tradedate'])
f.loc[f.tradedate == datetime.date(2009,5,27),'ret'] = 0
port_ret = f.groupby(['tradedate','portfolio_name']).apply(lambda x:(x.ret*x.mkt).sum()/x.mkt.sum())
port_ret = port_ret.reset_index()
port_ret = port_ret.rename(columns = {port_ret.columns[-1]:'ret'})看一下六个组合收益曲线
明显可以看出，小市值股票（S）表现更好，低账面市值比（L）表现最差，接下来计算SMB、HML因子，并和MKT因子拼在一起。
# SMB因子
# SMB = 1/3(SL + SM + SH) - 1/3(BL + BM + BH)
SMB = (port_ret_pivot['S/L'] + port_ret_pivot['S/M'] + port_ret_pivot['S/H'])/3 - (port_ret_pivot['B/L'] + port_ret_pivot['B/M'] + port_ret_pivot['B/H'])/3
# HML因子 HML = (SH + BH)/2 - (SL + BL)/2
HML = (port_ret_pivot['S/H'] + port_ret_pivot['B/H'])/2 - (port_ret_pivot['S/L'] + port_ret_pivot['B/L'])/2
ff3 = pd.concat([SMB,HML],axis = 1)
ff3 = ff3.reset_index()
ff3.columns = ['tradedate','SMB','HML']
ff3['ym'] = ff3.tradedate.apply(lambda x:x.year*100 + x.month)
# RM:全市场流通市值加权指数收益率
# RF：无风险利率
# 这里直接用中国资产管理研究中心的数据
d = pd.read_csv('fivefactor_monthly.csv')
RM_RF = d[['trdmn','mkt_rf','rf']].copy()
RM_RF = RM_RF.rename(columns = {'trdmn':'ym'})
ff3 = pd.merge(ff3,RM_RF,left_on = ['ym'],right_on = ['ym'])看看每个因子的累计收益率
三因子的相关性如下
可以看出，因子相关性不高，适合做回归。
接下来构造因变量25个投资组合，过程和上面类似。
groups = 5
f_5 = f.loc[f.ym %10 ==5,['stockcode','tradedate','ym','BM','mkt']].copy()
f_5['g_BM'] = f_5.BM.groupby(f_5.tradedate).apply(lambda x:np.ceil(x.rank()/(len(x)/groups)))
f_5['g_SIZE'] = f_5.mkt.groupby(f_5.tradedate).apply(lambda x:np.ceil(x.rank()/(len(x)/groups)))
f_5 = f_5.rename(columns = {'ym':'portfolio_dates'})
f_5 = f_5[['stockcode','portfolio_dates','g_BM','g_SIZE']]
f['portfolio_dates'] = f.tradedate.apply(lambda x:x.year*100 + 5 if x.month > 5 else (x.year - 1)*100 + 5)
f = pd.merge(f,f_5,left_on =['stockcode','portfolio_dates'],right_on =['stockcode','portfolio_dates'])
f = f.reset_index(drop = True)这25个组合的平均市值
从上往下，SIZE增大，从左往右，BM增大。平均市值从上往下依次增大，可以验证分组没有算错。
每个组别的股票个数如下
接下来这张：每个分组的平均收益率
这张可以分析出很多信息，实际上是一个标准的doublesort操作。从上往下，市值增大，平均收益减小。从左往右，账面市值比增大，平均收益也增大。
接下来生成这25个组合的收益率数据，用于回归，数据格式如下
横轴25行代表25个组合，纵轴代表时间，累计收益率如下
将25个组合数据和前面生成的三因子数据合并，进行三因子回归，记录回归的beta、p值、t值、r2。
f25 = pd.merge(f25,ff3,left_on = ['tradedate'],right_on = ['tradedate'])
f25['Intercept'] = 1
x = f25.loc[:,['SMB','HML','mkt_rf','Intercept']].values
r2 = []
betas = []
t = []
p = []
for i in range(25):# i = 0
y = f25.loc[:,f25.columns[i+1]].values
mod = sm.OLS(y,x).fit()
r2.append([f25.columns[i+1],mod.rsquared])
betas.append([f25.columns[i+1]] + list(mod.params))
t.append([f25.columns[i+1]] + list(mod.tvalues))
p.append([f25.columns[i+1]] + list(mod.pvalues))
p = pd.DataFrame(p,columns = ['group','SMB','HML','mkt_rf','Intercept'])
t = pd.DataFrame(t,columns = ['group','SMB','HML','mkt_rf','Intercept'])
betas = pd.DataFrame(betas,columns = ['group','SMB','HML','mkt_rf','Intercept'])
r2 = pd.DataFrame(r2,columns = ['group','r2'])运行结果如下，首先看R2
对于金融数据来说，算是比较高的水平了，拟合的还不错。t值和p值代表的含义差不多，看p值更直观一些。
记录了每次回归每个系数的p值，可以看出，规模因子HML非常显著，几乎每次回归都显著，其他因子的显著性一般。
接下来看beta
beta是回归的系数，这里能看出来，MKT、SMB的系数为正，HML系数有负有正，前面p值只有SMB是非常显著的，并且SMB的正系数也是符合常理的。
这里需要细致分析的是截距项，把截距项转换成上面双重排序的格式来看
截距项表示的是股票收益中不能被三个因子解释的部分，也就是alpha的部分。从截距项的大小来看，也是随着SIZE增大，alpha减小，随着BM增大，alpha增大。表明小市值的股票和高账面市值比的股票更容易获得超额回报，非常符合常理。
除此外，也可以对残差项进行分析，这里略去。
以上是Fama三因子模型的全过程，之后会有一些基于Fama三因子的因子构建。
05
参考文献
Fama E F, French K R. Common risk factors in the returns on stocks and bonds[J]. Journal of, 1993.
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