2023-04-29：一个序列的宽度定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空子序列的宽度之和

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福大大架构师每日一题

发布于 2023-04-29 20:45:45

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2023-04-29：一个序列的宽度定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空子序列的宽度之和

由于答案可能非常大，请返回对 109 + 7 取余后的结果。

子序列定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，

但不改变剩下元素的顺序得到的数组

例如，3,6,2,7 就是数组 0,3,1,6,2,2,7 的一个子序列。

输入：nums = 2,1,3。

输出：6。

答案2023-04-29：

解题思路：

排序

首先对数组进行排序，这样我们就可以根据每个子序列的首尾元素来计算它的宽度了。

计算宽度

我们使用 A 表示当前子序列的宽度，即末尾元素与首元素的差值，使用 B 表示上一个子序列的宽度，即前一次循环中的 A 值。具体计算过程如下：

A = (D * nums[i]) % mod
B = ((B * 2) % mod + nums[i - 1]) % mod
ans = (ans + A - B + mod) % mod
C = (C * 2) % mod
D = (D + C) % mod

其中 D 和 C 分别表示当前子序列的长度和可能的贡献值，计算方法如下：

C = (C * 2) % mod
D = (D + C) % mod

取模

由于答案非常大，需要对其进行 10^9+7 取模，即将 ans 的值对 mod 取余。

时间复杂度：

排序的时间复杂度为 O(nlogn)，计算宽度的时间复杂度为 O(n)，因此总的时间复杂度为 O(nlogn)。

空间复杂度：

除了输入数据外，算法使用了常数级别的额外空间，因此空间复杂度为 O(1)。

go完整代码如下：

package main

import (
	"fmt"
	"sort"
)

func sumSubseqWidths(nums []int) int {
	sort.Ints(nums)
	mod := 1000000007
	ans := 0
	var A, B, C, D int64 = 0, 0, 1, 1
	for i := 1; i < len(nums); i++ {
		A = (D * int64(nums[i])) % int64(mod)
		B = ((B*2)%int64(mod) + int64(nums[i-1])) % int64(mod)
		ans = (ans + int(A-B+int64(mod))) % int(mod)
		C = (C * 2) % int64(mod)
		D = (D + C) % int64(mod)
	}
	return ans
}

func main() {
	nums := []int{2, 1, 3}
	result := sumSubseqWidths(nums)
	fmt.Println(result)
}

rust完整代码如下：

fn sum_subseq_widths(nums: Vec<i32>) -> i32 {
    let mut nums = nums.clone();
    nums.sort_unstable();
    let mod_num = 1000000007;
    let mut ans = 0;
    let mut a = 0;
    let mut b = 0;
    let mut c = 1;
    let mut d = 1;
    for i in 1..nums.len() {
        a = (d * nums[i] as i64) % mod_num;
        b = ((b * 2) % mod_num + nums[i - 1] as i64) % mod_num;
        ans = (ans + a - b + mod_num) % mod_num;
        c = (c * 2) % mod_num;
        d = (d + c) % mod_num;
    }
    ans as i32
}

fn main() {
    let nums = vec![2, 1, 3];
    let result = sum_subseq_widths(nums);
    println!("{}", result); 
}

c完整代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define MOD 1000000007

int compare(const void* a, const void* b) {
    return *(int*)a - *(int*)b;
}

int sumSubseqWidths(int* nums, int numsSize) {
    qsort(nums, numsSize, sizeof(int), compare);
    long ans = 0, A = 0, B = 0, C = 1, D = C;
    for (int i = 1; i < numsSize; i++) {
        A = (D * nums[i]) % MOD;
        B = ((B * 2) % MOD + nums[i - 1]) % MOD;
        ans = (ans + A - B + MOD) % MOD;
        C = (C * 2) % MOD;
        D = (D + C) % MOD;
    }
    return (int)ans;
}

int main() {
    int nums[] = { 2, 1, 3 };
    int numsSize = sizeof(nums) / sizeof(nums[0]);
    int result = sumSubseqWidths(nums, numsSize);
    printf("%d\n", result); 
    return 0;
}

c++完整代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int sumSubseqWidths(vector<int>& nums) {
    sort(nums.begin(), nums.end());
    const int mod = 1000000007;
    long ans = 0, A = 0, B = 0, C = 1, D = C;
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        A = (D * nums[i]) % mod;
        B = ((B * 2) % mod + nums[i - 1]) % mod;
        ans = (ans + A - B + mod) % mod;
        C = (C * 2) % mod;
        D = (D + C) % mod;
    }
    return static_cast<int>(ans);
}

int main() {
    vector<int> nums{ 2, 1, 3 };
    int result = sumSubseqWidths(nums);
    cout << result << endl; // 输出：6
    return 0;
}