以物理中「力」的角度来看待,我们通常会将「合力」分解为各个「分力」,来描述整个「合力」的影响。特征值分解便是将「矩阵」分解成各个方向的分量,通过对各个分量的刻画来描述此矩阵。
特征分解:eigen decomposition 特征向量:eigen vector 特征值:eigen value
设矩阵
,向量
,则有:
表示对向量
进行旋转和伸缩变换。
的特征向量是一种特殊的向量,满足
。也就是说,矩阵
对特征向量
只起到伸缩变换的作用,而没有旋转变换的作用。
表示矩阵
和特征值
、特征向量
之间建立了联系,但无法通过单一的
和
来表示
,因为单一的式子是不完备的。对于秩为
的矩阵
,应该存在
个这样的式子,满足:
简化表达为:
从而可以得到矩阵
的表达:
,也即矩阵
的特征值分解。
的特征向量为
,特征值为
,则对于向量
,有
使用
作用
上
次,有
一般假定
,故有
当
时,有
即当矩阵
作用在
上足够多次时,将得到矩阵
的主特征向量的伸缩,归一化便可得到主特征向量
。
只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。
为使上述方程有非零解,要求
。
,代入
去计算对应的特征向量
。