二、证明等式(3.16):a ^ {\log_b c} = c ^ {\log_b a}。
文心一言:
在这里插入图片描述
chatgpt:
我们需要证明的等式为:a^{\log_b c} = c^{\log_b a}。
首先,将 \log_b c 看作一个变量 x,那么原式可表示为 a^x = c^{\frac{\log_a b}{\log_a c}}。
然后,我们将 c^{\frac{\log_a b}{\log_a c}} 进一步拆分,得到:
最后,将上述结果代入原式中,有:
因此,我们证明了等式 a^{\log_b c} = c^{\log_b a} 成立。
在这里插入图片描述
三、证明等式(3.19):\lg(n!) = \Theta(n \lg n)。并证明 n! = \omega(2 ^ n) 且 n! = o(n^n)。
文心一言:
在这里插入图片描述
chatgpt:
首先,我们证明等式 \lg(n!) = \Theta(n \lg n)。
由斯特林公式(Stirling's formula),可得:
两边同时取以 2 为底的对数,则有:
因为 \frac{\ln n}{\ln 2} 等于 \Theta(\log n),所以可得:
因此,\lg(n!) = \Theta(n \lg n) 得证。
接下来,我们证明 n! = \omega(2^n)。根据定义,需要证明:
考虑到:
因此,n! 至少每乘以 2 次就要增长一倍,即:
因此,n! = \omega(2^n) 成立。
最后,我们证明 n! = o(n^n)。根据定义,需要证明:
将 n! 展开,则有:
因此,\frac{n!}{n^n} < 1\frac{n!}{n^n} \to 0 当 n \to \infty。因此,n! = o(n^n) 成立。
综上所述,我们证明了等式 \lg(n!) = \Theta(n \lg n),以及 n! = \omega(2^n) 和 n! = o(n^n)。
在这里插入图片描述