版本:1.0.1
最后更新时间:2022年11月10日 09:07 修改次数:1
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:随机变量函数的期望公式
数学期望
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xdF(x)离散型
\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k 绝对收敛
\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_kp_k=E(X)连续型
绝对收敛
\int_{-\infty}^{+\infty}xp(x)dx=E(X) 性质:
- E(C)=C, C是常数
- E(kX)=kE(X),k是常数
- E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2), \quad E(\sum\limits_{i=1}^{n} X_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}E(X_i)
- 若X、Y独立\Longrightarrow E(XY)=E(X)E(Y)
随机变量函数的期望
一维($Y=g(X)$)
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dF(x)E(Y)=E[g(X)]=\sum\limits_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_kE(Y)=E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)p(x)dx X \sim N(0, \sigma^2), 求 E(X^n).
n为奇数:E(X^n)=\sigma^n(n-1)!!,n为偶数:E(X^n)=0
二维($Z=g(X,Y)$)
E(Z)=E[g(X,Y)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)dF(x,y)E(Z)=\sum_{i,j=1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}E(Z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)p(x,y)dxdy方差
D(X)=E{[X-E(X)]^2}=E(X^2)-E^2(X)的求法:
E(X^2)=D(X)+E^2(X) *性质:
- D(C)=0, C为常数
- D(CX)=C^2D(X)
\begin{aligned}D(aX \pm bY)&=a^2D(X)+b^2D(Y) \pm 2abCov(X,Y) \ &=a^2D(X)+b^2D(Y) \pm 2ab\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}\end{aligned}- D(aX+b)=a^2D(X), \quad D(\sum\limits_{i=1}^{n} C_iX_i +b)=\sum\limits_{i=1}^{n}C_i^2D(X_i)
- D(X)=0 \Longleftrightarrow P{X=c}=1,c=E(X)
协方差
$$ \begin{aligned} Cov(X,Y) &=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} \ &=E(XY)-E(X)E(Y) \ &=\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)} \end{aligned} $$
性质:
- Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
- Cov(X,X)=D(X)
- Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
- Cov(X+Y, Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)
随机向量的期望和方差
EY=l^\top a, DY=l^\top Bl 设
EY=Ca,DY=CBC^\top特征函数
f(t)=E(e^{itX})=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}dF(x)f(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}e^{itX_i}p_if(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}p(x)dx 性质:
- f(0)=1
- f(-t)=\bar{f(t)}
- 若a、b是常数,Y=aX+b,则f_Y(t)=E(e^{it(aX+b)})=Ee^{itb}Ee^{itaX}=e^{itb}f_X(at)
- 若X、Y相互独立,则f_{X+Y}(t)=f_X(t)f_Y(t)
- EX^k=(-i)^kf_X^{(k)}(0)
常见分布的特征函数及其推导过程
切比雪夫不等式
P{|X-EX|\ge \epsilon}\le \frac{DX}{\epsilon^2}柯西-施瓦兹不等式
$$ \begin{aligned} |E(XY)|^2 \le EX^2EY^2 \ Cov^2(X,Y) \le DXDY \end{aligned} $$