刚体力学整理

质点运动学

质点位置的确定

质点：一个有质量的几何点，忽略其大小、形状及内部结构的影响，在空间只占据一个点的位置。它是对实际研究对象的简化，理想模型。

这里质点位置的确定指的是质点位置随着时间变化的规律。(质点何时在何处)

• 参照系

用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。运动学中参照系可任选。

坐标系(固定在参照系上，是参照系上的一个数学抽象)，包含

1. 直角坐标系(x,y,z)
2. 球坐标系(r,θ,φ)
3. 柱坐标系(ρ,φ,z)
4. 自然坐标系(s)
5. 确定质点位置的常用方法

1、坐标法(如直角坐标)

2、位矢法

P点的位置由位置矢量

描述

上图中选择坐标原点O为参考点，由O点向P点做一个有向线段得到

，由

矢量描述P点在何处。

以上两种方法的关联为

这里的

、

、

为x、y、z轴的单位矢量。

位矢的大小

这里我们改变O点的位置也是可以的。

3、自然法

上图中，蓝色曲线为P点的运行轨迹，我们在该轨迹上任取一点O作为自然坐标的原点，我们视P点运行的方向为正方向(如上图中的橙色箭头方向)，则P点相对O点沿正方向的轨迹曲线长度s作为自然坐标的坐标值，这里s是可正可负的，为标量。当P点位于O点的左下方的时候，则s为负值。

• 运动学方程

从数学上确定质点在空间的位置随时间的变化关系。

1、坐标法(直角坐标系)

这里每个轴的坐标值表示为时间t的函数。消去t即得轨迹方程。

2、位矢法

3、自然法

s=f(t)

质点的位移、速度、加速度

• 位移：描述质点位置变化的物理量

上图是使用位矢法来定义的P、Q点的位置矢量，P点的位置矢量为

，Q点的位置矢量为

，那么从P到Q的位置变化

(图中的绿色箭头

)，即为这两点的位移，它也是一个矢量。而它的计算公式则为

位移是位置矢量的增量。

位移的特点

1. 位移是矢量(有大小，有方向)，位移不同于路程，上图中的Δs即为路程。

即便是位移的模也不等于路程。

1. 位移与坐标选取无关。
   1. ​

1. 由质点的始末位置确定，与中间运动过程无关。
2. 分清

与Δr的区别，Δr表示为两个矢量的模的差值。

1. ​

• 速度：描述质点位置变化快慢的物理量

上图中

表示位移，那么速度分为两种

1. 平均速度：

，表示质点在单位时间内的位移。

1. 瞬时速度(通常意义下的速度),

，为平均速度在Δt->0的极限值，为

(读作r矢量)对t变量的一阶导数。即

，方向为轨迹的切线方向。速度是位置矢量对时间的一阶导数。(注意这里不能说成是位移矢量对时间的一阶导数，因为位移是

，这里只是

)

• 平均速率和瞬时速率

上图中Δs为路程，那么

1. 平均速率：

1. 瞬时速率：

，为路程对t的一阶导数，但如果加上方向(轨迹的切线方向)就是速度

。

速度的矢量性、瞬时性和相对性(速度跟参照系的选取有关系)。

速度和速率的区别，平均速度的大小不一定等于平均速率，但是瞬时速度的大小等于瞬时速率。

• 加速度：描述质点速度变化快慢的物理量

我们通常会说汽车百公里加速为几秒，是指速度加的有多快。

，Q点的速度为

，则Δt内速度的增量就为

这里的

就为上图中紫色的虚线箭头。

1. Δt内平均加速度：

1. t时刻的瞬时加速度：

，则加速度是速度对时间的一阶导数，是位置矢量对时间的二阶导数。

各运动参量在直角坐标系中的表示

分别是x、y、z方向上的单位矢量。

之前我们知道了位置在直角坐标系中的表示为

那么对于速度，加速度以及位置在直角坐标系中都可以写成这种形式

对于大小则为

(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2})

(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2})

(a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2})

由基本关系式

，有

由(A)(B)两组式子，有

(v_x={dx\over dt})，(v_y={dy\over dt})，(v_z={dz\over dt})

(a_x={dv_x\over dt}={d^2x\over dt^2})，(a_y={dv_y\over dt}={d^2y\over dt^2})，(a_z={dv_z\over dt}={d^2z\over dt^2})

• 三个基本量从不同方面描写同一质点运动的规律，三者之间有着密切的联系：
• 相同点
  1. 均为矢量(方向性)
  2. 均为时间t的函数(瞬时性)
  3. 在不同的参照系中，各矢量的大小方向不同(相对性)
• 联系，从数学上看是微分与积分的关系
  1. ​

1. ​

称为运动学第一类问题(微分法)

1. ​

称为运动学第二类问题(积分法)

用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度

自然坐标系，用自然坐标s表示质点位置

设质点做曲线运动，且轨迹已知，则选参考点和正方向即可建立自然坐标，运动方程为s=s(t)

单位切向量

：长度为1，沿切向指向运动方向。

单位法向量

：长度为1，沿法向指向凹的一侧。

这两个向量的确立，相当于但凡运行到轨迹的一个位置，都可以采用

和

所建立的坐标系去描述质点的速度和加速度。

• 速度

由于这里说的是瞬时速度，速度的大小就是速率

(v={ds\over dt})

方向：沿切向(

)

因此速度就为

则速度矢量

与

完全是同方向的。

• 加速度，用以描述速度随时间t的变化规律

在上图中，已知t时刻的速度为

，t+Δt时刻的速度为

，那么它们速度的变化就为

，这样我们就可以得到平均加速度

/Δt。

同时我们也可以描述为

在大小不变的情况下旋转了一个角度到达了

的方向上，如上图中的淡蓝色矢量，同时大小增加了如上图中淡绿色的长度，那么加速度可以表示为

这里的

表示为末时刻(t+Δt时刻)的大小的变化，方向与末时刻的

相同，即上图中淡绿色的部分；

表示为方向的旋转性，即上图中淡蓝色的部分。

那么这里

被称为法向加速度，它代表方向的变化；

被称为切向加速度，它代表大小的变化。

• 匀速率圆周运动(速度大小不变，方向变)

我们将两个速度拼接到一处

那么它速度的变化就是

定义在圆形图中t时刻的点到t+Δt时刻的点相连，得到弦长为

，根据等腰三角形相似，有

这里

为速度变化的模，v则为质点运动的速率。由于匀速率圆周运动只有

，没有

，则

的大小为

这里正好就是我们中学学习过的向心加速度。它的方向是沿法向的。

根据标准定义，整体的加速度就为

• 变速率圆周运动(这里速度大小和方向都发生了变化)

我们将两个速度拼接到一处

那么它速度的变化就是

，这个

又可以分解为

和

，有

根据加速度的基本定义，就有

加速度矢量的定义，既反应速度大小的变化率，又反映速度方向的变化率。

这里的法向加速度

，我们已经知道它为

那么切向加速度

它的大小为末时刻的速率对时间的一阶导数，方向为末时刻的

，那么就有

所以在变速率圆周运动中，它的加速度由法向加速度

和切向加速度

组成，并且它们组成的加速度的方向并不再指向圆心，而是沿上图中的紫色箭头方向。该加速度的大小为

方向为

如果(a_τ=0)，则为匀速圆周运动。

如果

平行于质点速度

，则为加速圆周运动；相反如果

平行于

，则为减速圆周运动。

• 示例：质点做椭圆运动，

恒指向椭圆一焦点O，问：质点在P、Q点加速还是减速?

这里我们只需要将加速度

分解就知道P、Q是加速还是减速

由于

一定是指向轨迹凹测的，那么根据矢量的平行四边形法则，

如上图所示，由此我们可以知道P点是减速的，而Q点是加速的。

• 一般曲线运动

在一般曲线运动中，速度方向变化快慢与轨道形状有关，显然，轨道弯曲的越厉害，速度方向变化越快。  

描述曲线弯曲的程度——曲率半径，曲率半径越小，曲线就越弯

在上图中，从A点到B点是质点的运动轨迹，描述P点的加速度情况，我们可以做P点与轨迹的内接圆，该内接圆的半径ρ即为曲率半径。

对于一般曲线，我们的研究方法跟变速率圆周运动是一样的，它依然满足

这里

它跟变速率圆周运动的区别只是把R(圆周半径)换成ρ(曲率半径)即可。

用平面极坐标系表示圆周运动

在上图中，以圆周运动的原点O作为轴的起点，定义一个方向为参考方向OO'作为极坐标的起始方向。当我们要描述t时刻的P点的位置时，可以使用(r,θ)确定，其中r为圆周的半径，θ为OP与OO'的夹角。

• 四个角量

由于圆周的半径r是不变的，我们只关注夹角即可

1. 角坐标θ——极径r与极轴的夹角
   1. θ=θ(t)称为角运动方程
2. 角位移——描述质点位置的变动
   1. Δθ=θ(t+Δt)-θ(t)
   2. 逆时针为正
3. 角速度——描述位置变化快慢
   1. ​

平均角速度，标量

1. ​

瞬时角速度，为角坐标对时间的一阶导数(这里同样不能说成是角位移对时间的一阶导数)

1. 角加速度——描述角速度ω变化规律
   1. ​

平均角加速度，标量

1. ​

瞬时角加速度，为角速度对时间的一阶导数，角坐标对时间的二阶导数

关系

• 圆周运动的角量与线量的关系

(v=ωr)

这里表示圆周运动的速率=角速度*半径，则法向加速度大小为

(a_n={v^2\over r}=ω^2r)

切向加速度大小为

(a_τ={dv\over dt}={dω\over dt}r=βr)

以上都是标量的关系式

矢量关系式

上图并不是一个椭圆，而是三维空间某平面上的一个圆，P点的位置矢量为

，速度矢量为

，转动的角位移为dθ，位移矢量为

。

此时我们需要定义一个角速度的矢量形式，我们画一个垂直于圆所在平面的向上的箭头(如上图中的紫色箭头，注意这里是三维立体空间，注：这里角速度矢量方向可以使用右手螺旋法则，四指朝向速度的方向，大拇指所在的方向为角速度矢量的方向。角速度矢量只有两个方向，要么垂直于圆周平面竖直向上，要么垂直于圆周平面竖直向下)。

1. 位移与角位移：
   1. ​

，表示位移的模等于圆周半径乘以角位移，我们知道rΔθ在宏观下等于弧长，但是在微分下，弧长和弦长是相等的。

1. ​

，表示位移矢量等于角位移矢量叉乘位置矢量，这里的

表示角速度矢量方向的单位矢量。矢量叉乘的内容可以参考SLAM知识点整理 中的点与向量

1. 速度与角速度
   1. ​

，表示角速度矢量叉乘位置矢量，注意这里不能写反，否则方向会相反。

1. 加速度与角加速度
   1. ​

，这里用到了函数的积求导公式(可参考高等数学整理 中的函数的和、差、积、商求导)，最后表示为角加速度矢量叉乘位置矢量加上角速度矢量叉乘速度矢量。

相对运动

运动学中，参照系的选取是任意的，但在不同的参照系中对同一物理过程的描述是不同的。

• 考虑一个参照系相对于另一个参照系平动的情况

在上图中,S'系相对于S系以速度

做匀速运动。在t=0时刻，O'与O点是重合的。我们需要知道质点P在两个坐标系中的物理量(S系中的

以及S'系中的

)的关系

位置矢量

O'相对于O的位置矢量为

，那么P点在S系的位置矢量与S'系的位置矢量的关系为

速度变换定理

经过了Δt时间，即现在时刻为t+Δt，质点运动到了Q点。

那么S'系相对于S系，发生的位移为

，那么P点在S系中的位移

就为P点在S'系中的位移

加上S'系自身的位移

对于平均速度，我们只需要将上式的两边都除以Δt就可以了。

对于瞬时速度，则有

上式中，对于

≡

；对于

，这里考虑到相对论的观点，认为两个坐标系中流逝的时间是不同的，Δt为S系中流逝的时间，Δt‘为S'系中流逝的时间，所以才写成这个样子，但这里我们先认为Δt=Δt’，即有

则瞬时速度可转化为

表示在质点在S坐标系中的速度等于质点在S'坐标系中的速度加上S'坐标系相对S坐标系的速度。上式中

1. ​

——绝对速度(物对S系)

1. ​

——相对速度(物对S'系)

1. ​

——牵连速度(S'系对S系)

矢量图

加速度变换

根据速度公式

可以推得加速度

由于S'系相对于S系是匀速运动，所以

=0.

1. 速度变换定理成立的条件 v << c，即质点的速率远远小于光速。低速下，绝对时空观成立，即时间和长度的测量均与参照系无关。
2. 速度变换与速度叠加(矢量的拆解，如把一个矢量根据平行四边形法则拆解成两个不同方向的矢量，又称为矢量叠加)是两个不同的概念。
   1. 速度变换——涉及有相对运动的两个参照系
   2. 速度叠加——同一参照系中某质点速度及其分量的关系

功

功是能量变化的量度

• 恒力的功

在中学我们都知道，这样一个力做的功为A=FScosθ，但其实功又可以表述为力和力的作用点位移的标积(又叫点乘，有关点乘的内容可以参考线性代数整理 中的向量的点乘)

等式右边的

和

都是矢量，其中

就是上图中紫色的箭头，它不需要再乘以一个θ角的余弦，

是位移矢量；它跟A=FScosθ是不同的，这里的F只是力的大小，S只是距离，它们都是标量。

• 变力的功

上图中，质点M沿着轨迹从a点运动到b点，而它所受到的力

也是在不断变化着大小和方向。我们建立直角坐标系，那么在某时刻，质点的位置矢量为

，然后该质点经过了一个微小的位移

到达了上图中绿色箭头指定的位置，此时的位置矢量就为

+

。由于

是一个位移微元，那么

可以近似为恒力。那么在

一段上的功为：

由于

是微元，那么所作的功也不能写成A，而必须写成dA，称为元功。

那么对于整个ab的轨迹来说，

所做的功就为

它表示元功dA从a到b的过程中，沿着L轨迹的路径积分。

在自然坐标系种，由于

，则有

(A=\int_{a(L)}^bFcosθds)

它表示沿着L轨迹的路程积分。

• 注意事项
• A是标量，反映了能量的变化。正负：取决于力与位移的夹角。如

则A=0。

1. 功的正负与力的性质无关，如摩擦力
   1. ​

1. 一般来说，功的值与质点运动的路径有关。
2. 由于位移的大小与参照系的选择有关，因为功的大小也与所选参照系有关。如火车上的静止的物体相对火车是没有做功的，但是相对大地是有做功的。
3. 合力的功等于各分力的功的代数和。
   1. ​

1. ​

1. 直角坐标系中，功的求法：
   1. ​

1. ​

1. 在直角坐标系中，任何矢量都可以向它的三个轴上投影
2. ​

，表示i、j、k三个方向对应的数值相乘再相加(其实就是点乘的基本操作)

1. 自然坐标系中，功的求法：
   1. ​

，其中

为法向力，

为切向力。

1. ​

，由于

与

是垂直的，又由于

，故而最终可以转化为

功率

力在单位时间内所做的功，称为功率，描述力做功快慢的物理量。

设力

在Δt时间内做功为ΔA，则

1. 平均功率

1. 瞬时功率

，它可以表示为力与速度的点乘。

1. 当θ=0时，P=Fv;当θ=\(π\over 2\)时，P=0。

几种常见力的功

• 重力的功

质点重力mg在曲线路径(M_1M_2)上做的功：

首先建立直角坐标系

重力在x、y抽的分量都是0，而在z轴的分量，由于我们是定义竖直向上的方向为单位矢量的正方向，故而(F_z)=-mg。

根据牛顿-莱布尼茨公式可得，A=(-mg)((Z_2-Z_1))=mg((Z_1-Z_2))，为重力乘以质点始末位置的高度差。(有关牛顿-莱布尼茨公式可以参考高等数学整理(二) 中的牛顿 - 莱布尼茨公式)

由此我们可以得出结论：

1. 重力的功只与始、末位置有关，与质点所行路径无关。质点沿闭合路径运动一周，重力做功为0。
2. 质点上升时，重力做负功；质点下降时，重力做正功。
3. 弹力的功

在上图中，我们定义弹簧的原长处为坐标原点O，水平向右为x轴，那么单位矢量

的方向向右。弹簧力的方向一定是指向使弹簧恢复原长的方向，故而上图中

的方向为水平向左。我们知道弹簧的弹性力为kx，其中k为弹簧弹力系数，x为形变长度。那么在当前坐标系下，弹簧弹力为

由(x_1)到(x_2)路程上弹性力的功为(注意，这里(x_1)和(x_2)可以是弹簧弹性范围内的任意位置)

(A=\int_{x_1}^{x_2}-kxdx={1\over 2}kx_1^2-{1\over 2}kx_2^2)

结论：

1. 通常意义下，(x_1)，(x_2)为质点始末位置对应的型变量。
2. 弹性力的功只与始、末位置有关，与质点所行路径无关。质点沿闭合路径运动一周，弹力做功为0。
3. 弹簧的变形减小时，弹性力做正功；弹簧的变形增大时，弹性力做负功。
4. 万有引力的功

在上图中，m与M具有万有引力，m沿着ab轨迹运动。在位移元

上的元功为

，如果直接使用积分求解整个ab轨迹的功，我们得知道ab轨迹的轨迹函数，但现在我们是不知道的。

万有引力为

(F=G{mM\over r^2})

这里的r为M、m之间的距离。G为万有引力常数。

在上图中，我们做Mm的延长线，延长的长度为M到达绿色箭头的距离，那么这样就可以构成一个等腰三角形，又由于

是位移的微元，那么这个等腰三角形的顶角接近于0度，则我们可以认为绿色箭头到橙色延长线的黑线与橙色延长线的夹角为90度。那么我们就可以得到橙色线段的长度为绿色线段的长度乘以它们夹角的余弦值。

那么

就可以转换为

(dA=-G{mM\over r^2}dr)

这样就转化成了一个跟r有关的积分形式。

整个的积分就是由上图中的(r_1)到(r_2)，于是有

(A=\int_{r_1(L)}^{r_2}-G{mM\over r^2}dr)

这里主要计算(1\over r^2)的积分，(\int{1\over r^2}dr=\int{r^{-2}}dr={r^{-2+1}\over -2+1}+C=-{1\over r}+C)

故根据牛顿-莱布尼茨公式，最终可得(A=\int_{r_1(L)}^{r_2}-G{mM\over r^2}dr=GmM({1\over r_2}-{1\over r_1}))

结论：

1. 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所行径的路径无关。以上三种力都与路径无关，我们称这样的力为保守力。
2. 质点m移近质点M时，万有引力做正功；质点m远离质点M时，万有引力做负功。
3. 摩擦力的功

摩擦力F=μmg，其中μ为摩擦力系数。方向：切向且始终与速度方向相反。

摩擦力

在这个过程中所做的功为

这里的(s_2-s_1)为(M_1)与(M_2)之间的路程。

结论：

摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行径的路径有关。它称为非保守力。

质点动能定理

在位移元

上的元功：

这里需要说明一下，前三步都没有问题，第四步中的

为自然坐标系中的切向力，根据牛顿第二定律F=ma，其中的加速度大小(a={dv\over dt})，故有(F_τds=m{dv\over dt}ds)，由于瞬时速率(v={ds\over dt})，故最终可得(m{dv\over dt}ds=mvdv)，这样就转化成跟v有关的积分形式。

那么m从(t_1)->(t_2)，外力做功为：

(A=\int{dA}=\int_{v_1}^{v_2}mvdv={1\over 2}mv_2^2-{1\over 2}mv_1^2=E_{k2}-E_{k1})

我们在中学知道动能定理的公式为(E_k={1\over 2}mv^2)，故上式就为始末两个状态的动能差，即作用于质点的合力在某一路程中对质点所做的功等于质点在同一路程的始末两个状态动能的增加。

讨论：

1. 动能定律只用于惯性系(惯性定律成立的参考系，惯性定律就是牛顿第一定律，它是以静止或匀速直线运动的物体为参照系)。在非惯性系(牛顿运动定律不成立的参考系，比如以变速运动的物体为参照系)中，牛顿第二定律不成立，动能定律自然就不成立。
2. (E_k)是一个状态量，A是过程量。动能定理给出了力对质点的持续作用引起的质点运动状态变化的规律。
3. 力对质点在某一过程中做的功，只与质点在始末状态的动能有关系，而与运动过程中的动能变化细节无关。

质点系的动能定理

在上图中，(m_1)和(m_2)构成了一个质点系，它们分别都受到了外力

和

，同时它们又相互影响，有一对内力

和

。

分别对(m_1)、(m_2)用动能定理：

(m_1)：   (A_{F_1}+A_f=E_{k1}-E_{k10})

(m_2) ：   (A_{F_2}+A_{f'}=E_{k2}-E_{k20})

它表示外力和内力的功等于初末状态动能的差。

两式相加，有

(A_{F_1}+A_{F_2}+A_f+A_{f'}=E_{k1}+E_{K2}-E_{k10}-E_{k20})

由此可得

(A_外+A_内=E_k-E_{k0})

它表示对于一个质点系来说，所有外力的功和内力的功等于整个质点系初末动能的差。

讨论：

1. 引起运动状态变化，外力做功，内力也做功。
2. 内力是成对出现的。内力之和为零，但内力做功之和一般不为零。(仅内力做功，动能也可能改变)
3. 若(A_外+A_内=0)，系统动能守恒。(每时每刻均成立)

机械能守恒定律

如果质点在某空间任意位置，都受到一确定的保守力的作用，则称此空间存在着保守场。如重力场、引力场......

• 势能

引入势能的条件：

1. 物体系，不能说一个质点存在势能。
2. 体系内物体间的相互作用力是保守力。

势能的定义：质点在保守力场中某点a的势能，在量值上等于质点从a点移动至零势能点b的过程中保守力做的功。

(A_保=-ΔE_p)

它表示保守力做的功等于势能的损失。这里的(E_p)就是势能。将该式转换就为

该式的右边表示起始点的势能减去终止点的势能。

设末点b为势能零点，(E_{pb}=0)，则a点势能为：

势能零点的选取是任意的，只有相对意义。一般保守力参考点的选取

1. 重力势能零点——地面
2. 万有引力势能零点——r=(\infty)处
3. 弹力势能零点——弹簧原长端点x=0处

某点势能指该点与参考点势能之差。

势能的计算公式：

它是计算M点的势能。

1. 重力势能：(E_{p重}=\int_z^0-mgdz=mgz)    可正可负
2. 弹力势能：(E_{p弹}=\int_x^0-kxdx={1\over 2}kx^2)   恒为正
3. 引力势能：(E_{p引}=\int_r^\infty-G{Mm\over r^2}dr=-G{Mm\over r})   恒为负

势能曲线(势能与位置坐标的函数曲线)

• 机械能守恒定律

研究对象：质点系

体系受力分为：

1. 外力
2. 内力
   1. 保守内力(如重力，弹力，万有引力)
   2. 非保守内力(如摩擦力)

体系动能定理：(A_外+A_内=ΔE_k)

(A_外+A_{保内}+A_{非内}=ΔE_k)

(A_外-ΔE_p+A_{非内}=ΔE_k)

(A_外+A_{非内}=ΔE_k+ΔE_p=ΔE)

这里的ΔE为增加的总能量(机械能)，为增加的动能加上增加的势能，为外力和非保守内力做的功。

对于一个体系，外力和非保守内力做功的总和等于系统机械能的增量，称为功能原理。保守内力做的功以势能变化量的形式出现在体系的动能定理中。

当(A_外+A_{非内}=0)，则ΔE=0，这里指的是机械能的增量为0，而机械能本身为

(E=E_k+E_p=常数)，它并不为0

若一个体系的外力和非保守内力做功恒为0，则体系的机械能不变，称为机械能守恒定律。

1. 守恒条件：(A_外+A_{非内}=0)
2. 守恒是对整个过程而言的，必须时时刻刻都满足，不能只考虑始末两状态。
3. 守恒定律是对一个系统而言的。
4. 能量守恒和转化定律

能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以相互转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量转换和守恒定律。

1. 能量守恒定律可以适用于任何变化过程。
2. 功是能量交换或转换的一种度量。
3. 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范畴内的体现。

冲量和动量

力在空间上的积累效应：功，功可以改变质点或质点系的动能，动能是能量的一种，其中保守力做功又可以跟势能挂钩，所以力在空间上的积累效应改变的是物体系的能量。

力在时间上的积累效应：分成了两种情况，这里只先看第一种情况——质点平动，在平动中，该效应为冲量，其效果为改变物体系的动量。在刚体中，第二种情况为刚体转动，该效应为冲量矩，其效果为改变物体系的角动量。

• 质点动量定理

设一质点在外力持续作用下运动，在中学我们已经知道动量的表达形式为P=mv，那么上图中(t_1)到(t_2)时刻动量的变化就为

，动量也是一个矢量，其方向与速度相同

考虑一微时段dt，由牛顿第二定律F=ma，又由(a={dv\over dt})可得

，它表示动量矢量对t的一阶导数。改写为

上式称为质点动量定理的微分形式。表示力的时间积累效应。相比于

，所以做功表示力的空间积累效应。

质点动量的微分等于作用在质点上合力的元冲量。元冲量可以类比于元功dA。

在Δt=(t_2-t_1)内：

，该式称为质点动量定理的积分形式。

等式左侧：

称为力的冲量。描述Δt时间内力的持续作用的总效果，是过程量。

等式右侧：

为动量的增量

在Δt时间内，作用在质点上的合外力冲量等于同一段时间内质点动量的增量。

应用说明

1. 使用范围：惯性系，低速宏观和高速微观粒子均适用。

必须相对同一参照系。

1. 分量式：
   1. (\int_{t_1}^{t_2}F_xdt=mv_{2x}-mv_{1x})
   2. (\int_{t_1}^{t_2}F_ydt=mv_{2y}-mv_{1y})
   3. (\int_{t_1}^{t_2}F_zdt=mv_{2z}-mv_{1z})
   4. 冲量的任何分量等于在它自己方向上的动量的增量。
2. 平均冲力：
   1. ​

1. 在真实的环境中，在Δt时间内，力是一个变化的过程，如上图中，力由0升到最大值再降回0。但是该力对时间的函数关系我们是不知道的。但我们知道上图中紫色的面积的积分就是冲量，故而我们用一个

高度加上Δt围成的矩形的面积来代替紫色的面积，该矩形的面积与紫色的面积相等，那么

就是一个平均力。

1. 在力的整个作用时间内，平均力的冲量等于变力的冲量。
2. ​

1. 矢量作图
   1. ​

1. 由于冲量、动量都是矢量，我们不能使用数值相减，必须使用矢量相减，可以用一个动量和冲量围成的夹角α来描述它们的关系。

例：质量m=1kg的小球作圆周运动，A点时v=2m/s，方向如图，B点时v=4m/s，求该段时间内小球受到合外力的冲量。

解析法：我们对x、y轴建立单位矢量

、

。那么初态时的动量为

末态时的动量为

故而冲量为

作图法：

上图中紫色的矢量

就是需要求的矢量。其大小为

(I=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20})kgm/s

方向为

(tanα={4\over 2}=2)

• 质点系动量定理

这里以两质点系来推证，单独对于(m_1)来说，有

为质点(m_1)的元冲量。

单独对于(m_2)来说，有

为质点(m_2)的元冲量。

在整个质点系中，

和

是一对内力，它们大小相等，方向相反，故而有

故而将两个质点的元冲量等式的左右两边分别相加，就有

故而对于一个质点系来说，它的动量的增加只有外力形成的元冲量，没有内力的元冲量。

对于多个质点形成的质点系来说，就有

它表示每个质点受到的合外力的冲量的累加等于所有质点动量变化的总和，为质点系动量定理的微分形式。

那么对于一段宏观时间(t-t_0)，则有

该式表示在(t_0)到t的这样一段时间内，力的时间积累，冲量的和等于整个体系的末状态的动量减去初状态的动量，为质点系动量定理的积分形式。

如果在一段时间内整个体系不受外力，那么就意味着末状态的动量和初状态的动量相等，增量为0。

• 质点系动量守恒定律

质点动量守恒定律：

，意味着冲量为0，则该质点的动量

，为恒量。

质点系动量守恒定律：

，表示所有质点受到的合外力都是0，意味着整个体系的冲量为0，则该质点系的动量

，为恒量。

讨论：

1. 动量守恒的条件：合外力为零。指在整个运动过程中，合外力时时刻刻为零，不是合外力做功为零。
   1. ​

1. 在上图中，质点只受到一个力——重力，对于水平方向上来说，它是不受力的，所以水平方向的冲量为0，水平方向的动量守恒。这就意味着动量守恒可以对单方向守恒。
2. ​

1. 上图中，质点c受到绳子的拉力和重力，其合力指向圆心做匀速率圆周运动。由于该质点时时刻刻都受到了该合力的冲量，所以它的动量是不守恒的。动量守恒分量式(单方向上的动量守恒)    (F_x=0 => (\sum{m_iv_{ix}})=P_x=常量)(F_y=0 => (\sum{m_iv_{iy}})=P_y=常量)(F_z=0 => (\sum{m_iv_{iz}})=P_z=常量)如此，我们就可以将矢量转成标量的守恒内力可改变系统内各质点的动量，不会改变系统总动量。揭示了物体间的相互作用及机械运动发生转移的规律。当外力<<内力且作用时间极短时(如碰撞)可认为动量近似守恒。动量守恒定律是自然界一切过程最基本的定律(宏观低速、微观高速)，它比牛顿第二定律更加普适。

碰撞的分析

以两个小球((m_1,m_2))为例，可视为质点系

两个有相对速度的物体，相互作用持续时间极短，分类为正碰(碰撞前、后二者的运动方向均在过中心的连线上)和斜碰。

一、正碰

上图中，(m_1,m_2)发生了碰撞，然后弹开。碰撞过程中，两球开始接触，开始发生形变，然后形变量增至最大，此时两球相对静止。在之后过程中，形变可以完全恢复，称为完全弹性碰撞；若形变不能恢复，则称为完全非弹性碰撞。

1、完全弹性碰撞

研究对象：((m_1,m_2))质点系

，则有

分析力的做功

(A_外+A_内=0)

这里的(A_内=0)指的是在发生碰撞时，两个小球中的任意一个小球受到的力始终保持一个方向，在形变增大阶段，该力做负功；在形变恢复阶段，该力做正功，是对称的，因此形变内力做功为0。故而整个系统的动能(E_k)也是不变的，有

({1\over 2}m_1v_{10}^2+{1\over 2}m_2v_{20}^2={1\over 2}m_1v_1^2+{1\over 2}m_2v_2^2)

根据这两个式子，我们可以由初速度(v_{10})和(v_{20})求得末速度(v_1)和(v_2)。若(m_1=m_2)，碰后两球交换速度；若(m_2>>m_1)，且(v_{20}=0)，则(v_1=-v_{10})，(v_2=0)。

2、完全非弹性碰撞

发生最大形变后一直保持，不再恢复

，但是(A_内≠0)，动能不守恒。内力做负功，动能损耗在使物体发生永久的形变上，变成了其他形式的能量。

两球相对静止，故而

因为动量守恒，故而有

这里可直接求出

的值。

3、非弹性碰撞

存在形变的恢复，但未完全恢复

，(A_内≠0)，形变增大阶段(负功)与形变恢复阶段(正功)不能抵消，该情况无法求出两个小球的末速度。

二、斜碰

碰前后的两球不在一条直线，可采用矢量分析。

刚体力学

研究对象：刚体

1. 有大小、形状而无形变的物体。
2. 实际研究对象的简化，理想模型。

研究内容：刚体位置随时间变化的规律

刚体运动类型：平动、转动(定轴、定点)、一般运动(混合运动)

刚体和刚体的基本运动

• 平动

刚体运动过程中，在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行。

如上图中的BA、B'A'、B''A''的连线方向指向始终是同一个方向。

平动的特点：

1. 刚体中各质点的运动情况相同。
   1. ​

1. ​

1. 刚体的平动可归结为质点运动。
   1. 运动学角度：刚体上任一点运动都满足质点运动学规律。
   2. 动力学角度：质心运动代表整体运动，利用质心运动定理研究刚体的平动动力学规律，同质点动力学规律。
2. 定轴转动

刚体上各质点都绕同一固定转轴做圆周运动。

1. 不同点转动半径不同。
2. 转动平面垂直于转动轴。
3. 所有质点在转动平面内的角速度相同。

描述刚体定轴转动的角量

有两个平面——I平面和II平面。这里是从I平面转动到了II平面，转动的角度为θ。具体到刚体每一个转动平面的圆上，就为两条半径之间的夹角为θ。这里我们采用角坐标系来描述刚体的转动

θ=f(t)

该式就为定轴转动的运动学方程。

那么角速度就为

(ω={dθ\over dt})

角加速度为

(β={dω\over dt}={d^2θ\over dt^2})

刚体定轴转动任一点的运动学参量表示

1. 运动学方程：θ=θ(t)
2. 角位移：Δθ=θ(t+Δt)-θ(t)
3. 角速度：(ω={dθ\over dt})
4. 角加速度：(β={d^2θ\over dt^2})

角量的描述应采用弧度(rad)

它们满足的关系为

虽然这些都是标量运算，但是也可以定义它们的矢量。

角速度矢量

就满足右手螺旋法则就可以了。

力矩，刚体定轴转动定律

• 力矩

在质点运动学中，力可以改变质点的运动状态从而获得加速度。在刚体中，使得刚体改变转动状态，从而使得刚体获得角加速度的为力矩。

力矩不仅要有力，还需要有力作用点的位置，在上图中，力F对O点的力矩为

它表示位置矢量

叉乘力矢量

，注意这里不能写反了，因为力矩

也是一个矢量，满足右手螺旋法则，否则方向就会错误。

其中

又称为O点到力的作用点的矢径。

刚体的定轴转动中，z轴为刚体的转轴，力

的起始位置点P所在的转动平面与z轴的交点为O。O到P的矢径为

，那么力

对z轴的力矩为

我们将

与

拼接到同一个起始点，它们之间的夹角为θ，那么力矩

的大小就为

rFsinθ=Fh

这里的h就为

由O点向

所在的直线引垂线，也就是O点到

所在的直线的距离。

力矩的单位为：牛⋅米(N⋅m)

讨论：

1. 若

不在转动平面内，可将

分解为：

1. ​

——平行于z轴的分力，不产生对z轴的力矩

1. ​

——在转动平面内的分力，产生对z轴的力矩

1. ​

1. 在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向。
2. 同一力对不同转轴的力矩不同，在讨论力矩时必须指明是对哪一个转轴的力矩。
3. 如果有多个力作用于刚体，则刚体所受合力矩等于各分力对同一转轴产生的力矩之矢量和。
   1. ​

1. 这里必须是先算力矩再进行矢量相加，而不能先算合矢径、合力，再算合力矩。
2. 故需格外注意合力矩是力矩的矢量和，不是求合外力的力矩。
3. ​

1. 在上图中，

，故而圆盘没有发生平动，但

，故而圆盘会发生转动。

1. ​

1. 在上图中，

，故而圆盘会发生平动，但

，故而圆盘不会发生转动。

1. 刚体平动取决于合外力，刚体转动取决于合外力矩。重力矩等于全部质量集中在重心时的重力矩    ​

1. 滑轮加速转动时，二张力不同。
   1. ​

1. 取逆时针为正，则合力矩
2. ​

1. 当滑轮加速时，\(M≠0\)，故而\(F\_1≠F\_2\)一对内力对同一转轴的力矩之和为零    ​

1. 上图中，

和

是一对内力，它们大小相等，方向相反。

1. ​

1. 因为\(f\_1=f\_2\),则M=0刚体定轴转动的微分方程、转动定律

在上图中，是一个刚体围绕着黑色线的转轴做旋转。整个刚体的质量为m。我们取刚体中的一个质量元(白色的点)，它的质量为(Δm_i)，它所受到的外力为

，刚体中的其他质量元对其的内力为

。这两个力都是在同一个旋转平面中的。那么根据牛顿第二定律，有

该质量元是围绕着转轴做圆周运动，其切线方向是上图中的蓝色虚线τ。则有

(F_{iτ}+f_{iτ}=Δm_ia_{iτ})

这是自然坐标系中切向力的牛顿第二定律。矢径与这两个力起始点拼接后，所围成的夹角，与

的夹角为θ，与

的夹角为φ，又根据切向加速度与角加速度的关系(a_τ=βr)，上式可转化为

(F_isinφ+f_isinθ=Δm_ir_iβ)

两边同乘(r_i)，有

(F_ir_isinφ+f_ir_isinθ=Δm_ir_i^2β)

以上都是对一个质量元而言的，对于整个刚体就有

(\sum{F_ir_isinφ}+\sum{f_ir_isinθ}=(\sum{Δm_ir_i^2})β)

其中(\sum{F_ir_isinφ})称为合外力矩M，(\sum{f_ir_isinθ})称为合内力矩=0，这样上式就可以表示为

(\sum{M_{i外}}=(\sum{Δm_ir_i^2})β)

令(\sum{Δm_ir_i^2}=J)(刚体对z轴的转动惯量)，最终可得

(M_z=J_zβ_z)

该式表述为合外力矩等于转动惯量乘以角加速度，它们都是对于同一个转动轴z轴而言的。该式称为刚体定轴转动定律。它的地位和质点力学中的F=ma是一样的。

讨论：

1. 刚体在总外力矩(M_z)的作用下，获得的角加速度β与总外力矩的大小成正比，与转动惯量J成反比。
2. 转动惯量J是一个与物体质量分布有关系的参量，它不能够作为刚体运动过程中的变量。
3. 刚体定轴转动定律是动力学中的基本方程，是力矩的瞬时作用规律。
4. M、J、β必须对同一转轴定义。
5. M正比于β，力矩越大，刚体的β越大；力矩相同，若转动惯量J不同，产生的角加速度不同。
6. M与β本是矢量，定轴转动中，其方向只有两种；M和β方向永远一致。
7. 与牛顿定律比较：M->F，J->m，β->a。
8. 转动惯量J反映了刚体转动时惯性的大小。

转动惯量

表示转动惯性的物理量。

(J=\sum{Δm_ir_i^2})

上式是代表质量不连续分布的情况。从数学的角度来讲，如果质量是连续分布，那么是不能把刚体分解为有限个(Δm_i)的，而将其写为积分形式更加准确

(J=\int{r^2dm}=\int_Vr^2ρdV)

这里的dm就是质量元，r是单个质量元的矢径大小，对于所有的质量元是变化的，是需要被积的变量。后面(\int_Vr^2ρdV)只是一种转换形式，我们也可以不使用这种转换形式，这个视具体情况而定。

dm需写成与坐标空间有关的参量：

1. dm=λdl     这是一种线分布的情况，λ代表线密度，dl代表线元；对应的转动惯量(J=\int{r^2λdl})
2. dm=σds    这是一种面分布的情况，σ代表面密度，ds代表面元；对应的转动惯量(J=\int{r^2σds})
3. dm=ρdV   这是一种体分布的情况，ρ代表体密度，dV代表体元。对应的转动惯量(J=\int{r^2ρdV})

质量m均匀材质的物体，线密度、面密度、体密度分别为：(λ={m\over L})，(σ={m\over S})，(ρ={m\over V})。

转动惯量的三个要素：总质量、质量分布、转轴的位置

1、J与刚体的总质量有关

例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量。

上图中有一根棒，这里先不区分是木棒还是铁棒，它的长度为L，质量为m。我们建立直角坐标系，并取一段线元为dx。

这是一种线分布的情况，代入线分布的转动惯量公式为

(J=\int_0^L{x^2λdx}=\int_0^L{x^2{m\over L}dx}=|{x^3m\over 3L}|_0^L={1\over 3}mL^2)

这里的x就是被积变量r，dx就是线元dl，积分范围是0~L。

由上式可知，由于木棒、铁棒的L是相同的，那么质量大的转动惯量就大，则

(J_铁>J_木)

转动惯量大，维持原状态的能力就强，不好改变；转动惯量小，维持原状态的能力就弱，容易改变。

2、J与刚体的质量分布有关

例如圆环绕中心轴转动的旋转惯量。

上图中有一个圆环(非圆盘)围绕着黑色的线做定轴转动，圆环的质量为m，半径为R，我们在圆环上取一小段线元dl。

这也是一种线分布的情况，代入线分布的转动惯量公式为

(J=\int_0^LR^2dm=\int_0^{2πR}R^2λdl=R^2λ\int_0^{2πR}dl=R^2{m\over 2πR}2πR=mR^2)

现在将圆环变成圆盘，圆盘绕中心轴的转动惯量

此时我们可以在圆盘中取一个围绕转轴围成的面元ds，该面元的厚度为dr，该面元的内矢径大小为r。

由于ds是一段环形面积，根据环形面积的计算公式(S=π(r_外^2-r_内^2))，有(ds=π((r+dr)^2-r^2)=π(2rdr+(dr)^2)=2πrdr+π(dr)^2)，这里略去二阶小量，故ds=2πrdr。

这是一种面分布的情况，它的质量元为

(dm=σds={m\over πR^2}2πrdr={2mr\over R^2}dr)

代入面分布的转动惯量公式为

(J=\int_0^mr^2dm=\int_0^Sr^2σds=\int_0^R{2m\over R^2}r^3dr=|{2mr^4\over 4R^2}|_0^R={m\over 2}R^2)

由以上的计算结果，我们可以看到在相同的半径，相同质量的圆环与圆盘，圆盘的转动惯量是圆环的(1\over 2)。

这也说明同样的质量，分布不一样，质量分布越靠转轴外侧，转动惯量越大；质量分布越靠转轴内测，转动惯量越小。

3、J与转轴位置有关

现在我们改变1中棒子转轴的位置于棒子的中间，此时它的转动惯量就变成了

(J=\int_{-L/2}^{L/2}{x^2λdx}=|{x^3m\over 3L}|_{-L/2}^{L/2}={1\over 12}mL^2)

根据结果可知，将转轴改变于棒子中间时的转动惯量仅仅为棒子末端时的(1\over 4)。

• 转动惯量的计算
• 叠加原理：刚体对某一转轴z的转动惯量J等于其各部分对同一转轴z的转动惯量(J_i)之和。
  1. ​

1. 上图中\(J=J\_A+J\_B+J\_C\)平行轴定理：两转轴z和z'平行，相距为h，z轴通过质心，则任意转轴z'的转动惯量为(J_{z'}=J_z+mh^2)。    ​

1. \(J\_{z'}\)：刚体绕任意轴的转动惯量
2. \(J\_z\)：刚体绕通过质心轴的转动惯量
3. h：两轴的垂直距离
4. m：刚体质量
5. 例如均匀细棒的转动惯量
6. ​

1. \(J\_{z'}=J\_z+m({L\over 2})^2={1\over 12}mL^2+{1\over 4}mL^2={1\over 3}mL^2\)(薄板)垂直轴定理：x、y轴在薄板平面内；z轴垂直薄板，则薄板对垂直轴z的转动惯量等于其对x、y轴的转动惯量之和。    ​

1. \(J\_z=J\_x+J\_y\)
2. 例如求对圆盘的一条直径的转动惯量
3. ​

1. 已知：\(J\_z={1\over 2}mR^2\)，\(J\_x=J\_y\)
2. 则\(J\_x=J\_y={1\over 4}mR^2\)

转动定律的应用

• 例：若F=2N，mg=2N，相同的轮子，二轮的β相同吗？

分析受力

第一张图中的小物体，它受到重力还受到一个向上的拉力T，故

mg-T=ma

对于滑轮来说，它的滑绳同样受到一个拉力T，切该力与矢径的夹角为(π\over 2)，则

(M_1=TRsin{π\over 2}=(mg-ma)R=2R-maR)

第二张图中只有滑轮，则

(M_2=FRsin{π\over 2}=2R)

因为(M_2>M_1)，故(β_2>β_1)

• 例：已知：定滑轮，轻绳，不伸长，无相对滑动，求：
• 物体加速度a
• 绳子的张力T
• 滑轮转动的角加速度β

设(m_2>m_1)

设定正方向为向右转动的方向

受力图

由(m_1)有

(T_1-m_1g=m_1a)

由(m_2)有

(m_2g-T_2=m_2a)

由滑轮有

(T_2R-T_1R=Jβ)

又知

a=Rβ

(J={1\over 2}MR^2)

由以上方程联立，可以求解。

• 正方向定义的说明

定义某一运动方向为正方向+，矢量分析转为标量(有正负，代数值)分析，具一定简化。

力的分析中：物体的受力均在同一直线方向时，与规定正方向作用的运动趋势同向的力取正值，反向的取负值，合力取分立的代数和。

力矩分析中：与规定正方向作用的运动趋势同向的力矩取正值，反向的取负值，合力矩取各分力力矩的代数和。

参量负号：速度/角速度、加速度/角加速度取值为负不代表速度或角速度减小，只说明物理过程的真实运动方向与定义方向相反。“减速”的判断：将加速度/角加速度的真实方向与速度/角速度的真实方向进行比较，比较正负是否一致也可。

正方向选取是任意的，对结果没有影响，只是表述形式不同。

• 关于"绳子拉力处处相等"的说明

使用条件：

1. 绳子自身重力不计
2. 绳子处于"绷紧"状态，不存在"松弛"的部分
3. 绳子没有越过加速转动的滑轮(考虑滑轮的转动惯量)

如上图所示，绳子被两个加速转动的滑轮分为三部分，各部分的拉力处处相等，但不同部分之间拉力大小不等。

(T_1≠T_2≠T_3)

滑轮两端拉力的合力矩使滑轮产生角加速度。

• 角速度及单位的说明

瞬时角速度：   (ω={dθ\over dt})   单位：rad/s

匀速率圆周运动的平均角速度：

T为圆周运动的周期(转一圈的时间)

由平均角速度求转数(圈/秒，或圈/分)：

弧度和度的转换：2π rad=(360^∘)

1 rad=(({360\over 2π})^∘)

隔离分析受力(矩)

规定正方向：逆时针

平动：分析受力

(m_1g-T_1=m_1a)

(T_2-m_2g=m_2a)

转动：分析力矩

(T_1R_1-T_3R_1={1\over 2}M_1R_1^2β_1)

(T_3R_2-T_2R_2={1\over 2}M_2R_2^2β_2)

线量与角量关系：

(a=R_1β_1=R_2β_2)

六个未知数，六个方程，可求解(T_1,T_2,T_3,a,β_1,β_2)。

定轴转动刚体的动能，动能定理

• 转动动能

上图中有一个刚体围绕着转动轴以角速度ω旋转。设系统包含有N个质量元，取其中的一个质量元(Δm_i)，其空间位置为点P，矢径为

。因为该刚体是绕着转轴做圆周运动，故P点的速度

与

垂直。该质量元的动能为

(E_{ki}={1\over 2}Δm_iv_i^2={1\over 2}Δm_ir_i^2ω^2)

则刚体的总动能为

(E_k=\sum{E_{ki}}=\sum{{1\over 2}Δm_ir_i^2ω^2}={1\over 2}(\sumΔm_ir_i^2)ω^2={1\over 2}Jω^2)

绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半。可以类比质点动能({1\over 2}mv^2)。

• 力矩的功

上图中，刚体围绕着转动轴以角速度ω旋转。P点为刚体上的一个质量元，它所受的合外力为

，P点的矢径为

，

与

的夹角为φ；经过一段时间微元dt，P点到达

‘的位置，位移为

，角位移为dθ。

由功的定义：

由于是微元，弧长等于弦长，根据弧长公式L=rΔθ，则上式可以转化为

=Frsinφdθ=Mdθ

这里的M为力矩。上式称为力矩做功的微分形式。

若刚体在外力F作用下，角坐标从(θ_1->θ_2)，则整个过程的做的功为

(A=\int_{θ_1}^{θ_2}Mdθ)

该式称为力矩做功的积分形式。

若M=C(常数)，(A=M(θ_2-θ_1))

讨论：

1. 力矩对刚体的功就是力对刚体的功。
2. 合力矩的功(A=\int_{θ_1}^{θ_2}{\sum_i{M_idθ}}=\sum_i{\int_{θ_1}^{θ_2}M_idθ}=\sum_iA_i)
3. 一对内力矩对刚体做功之和为零。(平动中，一对内力做功之和一般不为零)
4. 力矩的瞬时功率(P={dA\over dt}={Mdθ\over dt}=Mω)，类比于力的瞬时功率

1. 功的正负：M与Δθ同向，A>0；M与Δθ反向，A<0。这里实际就是看

与

是否同向。

1. ​

• 定轴转动的动能定理(力矩的空间持续作用规律)

设刚体在外力矩M作用下，角坐标由(θ_1->θ_2)，角速度(ω_1->ω_2)，由刚体转动定律：

(M=Jβ=J{dω\over dt})

两边同乘以dθ，得

(Mdθ=J{dω\over dt}dθ=jωdω)

对于整个运动过程

(\int_{θ_1}^{θ_2}Mdθ=\int_{ω_1}^{ω_2}Jωdw)

这里我们已知等式的左边为力矩做的功A，则

(A={1\over 2}Jω_2^2-{1\over 2}Jω_1^2=ΔE_k)

在任一过程中作用在绕定轴转动刚体上所有外力矩所作功的总和，等于在该过程中刚体动能的增量。这就是绕定轴转动刚体的动能定理。这可以与质点的动能定理(ΔE_k={1\over 2}mv_2^2-{1\over 2}mv_1^2)做类比。

• 刚体的重力势能

上图中，C是刚体的质心，它离地面的距离为(h_c)；(Δm_i)是刚体的任一质量元，它离地面的距离是(h_i)。

根据势能的定义，整个刚体的势能为

(E_p=\sumΔm_igh_i=mg{\sumΔm_ih_i\over m}=mgh_c)

这里(\sumΔm_ih_i\over m)其实就是质心高度(h_c)的定义式。(mgh_c)即为质心的势能。

结论：刚体的重力势能即刚体的全部质量集中在质心上相对于势能零点具有的势能。

那么刚体的机械能为

(E={1\over 2}Jω^2+mgh_c)

即刚体的转动动能加上刚体的势能。

• 功能原理，机械能守恒定律

对于包含刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律依然成立。

研究对象：体系(平动部分，转动部分)

功能原理：(A_外+A_{非内}=ΔE)

(A_外)：

1. 若外力使刚体平动，即求外力的功。
2. 若外力使刚体转动，即求力矩的功。

(A_{非内})：

1. 摩擦力的功(平动部分)
2. 刚体转动部分，内力矩成对出现，大小相等，方向相反，角位移相同，所以内力矩的功为零。

ΔE：机械能：(E_p+E_k)

1. (E_p)：弹性势能，重力势能
2. (E_k)：
   1. 平动部分：({1\over 2}mv^2)
   2. 转动部分：({1\over 2}Jω^2)

力与力矩的作用比较

• 例：一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，棒在水平位置由静止释放，求细棒下摆至θ时的ω

方法一：

刚体定轴转动定律

重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩

(M=mg{1\over 2}lsin({π\over 2}-θ)=Jβ={1\over 3}ml^2β)

因为(sin({π\over 2}-θ)=cosθ)，从而算得

(β={1\over 2}mglcosθ{3\over ml^2}={3gcosθ\over 2l})

又因为

(β={dω\over dt}={dωdθ\over dtdθ}=ω{dω\over dθ})

故而

(ωdω={3gcosθ\over 2l}dθ)

则

(\int_0^ωωdω=\int_0^θ{3gcosθ\over 2l}dθ=|{3gsinθ\over 2l}|_0^θ={3gsinθ\over 2l})

又

(\int_0^ωωdω={ω^2\over 2})

两式联立，最终可得

(ω=\sqrt{3gsinθ\over l})

方法二：

动能定理

合外力矩

(M={1\over 2}mglcosθ)

该力矩做的功为

(A=\int_0^θMdθ=\int_0^θ{1\over 2}mglcosθdθ=|{1\over 2}mglsinθ|_0^θ={1\over 2}mglsinθ)

根据转动动能定理，有

(A={1\over 2}Jω^2-0={1\over 2}⋅{1\over 3}ml^2ω^2)

联立两式，最终可得

(ω=\sqrt{3gsinθ\over l})

方法三：

功能原理

研究对象：细棒+轴+地球      这是一个整体的系统，系统机械能E守恒

取O点所在位置为重力势能零点

状态1：转动动能0+重力势能0

状态2：转动动能({1\over 2}Jω^2)+重力势能(-mg{l\over 2}sinθ)

故而：

({1\over 2}Jω^2-mg{l\over 2}sinθ=0)

(J={1\over 3}ml^2)

代入可以求得

(ω=\sqrt{3gsinθ\over l})

角动量(动量矩)和角动量守恒定律

在质点力学中：

表示冲量等于质点始、末位置的动量增量。

但是在刚体运动中，我们无法使用动量来描述刚体转动时的运动状态。

上图为一个以ω角速度围绕质心点转动的刚体圆盘。

如果该圆盘静止时，该刚体上的任意一个质量元(m_i)的速率都是0，那么

,则

如果该圆盘转动时，我们以质心对称的一对质量元来看，它们的速度大小相等，方向相反，故而它们的合动能依然为0。从刚体的整体来看，依然为

结论：无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零，即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态。

此时需要引入新的物理量——角动量(动量矩)

• 质点的角动量(动量矩)

1、定点

上图中的S平面中，有一个定点O，质点位于O点左侧，它此时的动量为

，O点到该质点的矢径为

，

与

拼接后的夹角为φ。那么该质点对于O点的角动量为

上式表述为质点的角动量等于矢径

叉乘动量

，为矢量。其大小为

(L_O=rpsinφ=mrvsinφ)

其方向满足右手螺旋法则。

特例：质点做圆周运动

L=rp=mrv

2、定轴

质点对z轴的角动量，就是质点对z轴与转动平面的交点O点的角动量。

其大小为

(L_z=rmv=r^2mω=J_zω)

注意，这里的转动惯量(J_z)只表示质点对转轴的转动惯量，而不是整个刚体的转动惯量。

质点做任何运动都可以用角动量来描述其运动状态

1、质点对圆心的角动量

2、行星在椭圆轨道上的角动量

3、抛出物体对O点的角动量

4、直线运动的物体对O点的角动量

以上四点只是为了说明针对任何质点的运动，我们都可以指定一个点，对该点用角动量来描述质点的运动参量。

• 质点的角动量定理和角动量守恒定律

上式为角动量对时间的一阶导数，根据函数的积求导公式，可以化成第二步的样式，又由于

，则

，故而第二步的左式为力矩

;第二步的右式由于

，有

，两个同方向的矢量叉乘为0，故而上式最终就为力矩

。

表述为质点所受到的合外力矩

等于质点所受的角动量

对时间t的一阶导数。也可以写成

这就是质点角动量定理的微分形式。该式可以类比于质点的动量定理

、

的微分形式。

对于宏观时间来说，则有

这就是质点角动量定理的积分形式。该式可以类比于质点的动量定理

的积分形式。

质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量。其中

记为元冲量矩，

记为冲量矩。

合外力矩是改变系统角动量的原因，当

时，

守恒，这就是角动量守恒定律。

讨论：

1. 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用。
2. 通常对有心力：

过O点，M=0，角动量守恒。

1. 例如，由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。
2. ​

1. ​

1. 上图中，行星受到太阳的万有引力始终指向太阳，也就是说该力始终过O点，则M=0，行星对太阳的角动量守恒。速度\(v={Δr\over Δt}\)，可以推导第二步，在第三步中，以r为底，|Δr|sin(π-α)=|Δr|sinα为高，\({1\over 2}|Δr|rsinα\)即为一个三角形的面积ΔS，由于L守恒，则该三角形面积也不会发生改变。刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

1、刚体定轴转动的角动量

刚体围绕Z轴做定轴转动，(Δm_i)为刚体的一个质量元，其速率为(v_i)，O点到该质量元的矢径为

。因为刚体各质点对z轴的角动量方向相同，所以整个刚体的角动量为

(L_z=\sum_iΔm_iv_ir_i=\sum_iΔm_ir_i^2ω=J_zω)

这就是刚体围绕z轴定轴转动的角动量等于该刚体对于z轴的转动惯量乘以角速度。可以类比于质点的动量P=mv。

刚体的角动量为所有质量元的角动量之和。

2、刚体定轴转动的角动量定理

之前我们已知了质点的角动量定理为Mdt=dL=d(Jω)，它同样也是刚体的角动量定理微分形式。

在宏观时间上，其形式为

(\int_{t_1}^{t_2}M_zdt=\int_{ω_1}^{ω_2}d(Jω)=(Jω)_2-(Jω)_1=J_2ω_2-J_1ω_1)

这就是刚体角动量定理的积分形式。定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量。这里需要注意的是，在刚体转动过程中，刚体可能会发生变形，从而它的转动惯量发生了变化，但这并不影响刚体的角动量定理，依然为该刚体角动量的增量。

3、刚体定轴转动的角动量守恒定律

在刚体的角动量定理，若

(M_z=0)

则

ΔL=0，Jω=常量

若定轴转动刚体所受合外力矩为零，则刚体对该轴的角动量守恒。

力与力矩的作用比较

• 例：均匀细杆(l,m)，一端悬挂，可在竖直面内自由转动。开始时处于静止，在杆的中心做一冲量I，方向垂直于杆。求冲量作用结束时，杆获得的角速度。(假定冲量作用时间极短，在冲量作用的整个过程中杆不发生位移)

已知：

，为杆中心受到的冲量

重力通过O，故不产生力矩，F对O点产生力矩(M=F{l\over 2})

该时间微元内该力矩的冲量矩为：

(\int{Mdt}=\int{F{l\over 2}dt}=I{l\over 2})

由刚体角动量定理：

(I{l\over 2}=Jω-0)

已知(J={1\over 3}ml^2)

得(ω={3I\over 2ml})