广义牛顿二项式定理

为为为什么

发布于 2023-11-18 10:47:29

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二项式定理描述了二项分布的概率计算方式，但当指数不是整数时二项定理就显得有些奇怪，此时需要用到广义牛顿二项式定理。

广义二项式定理

二项式定理:

本质

广义二项式定理实际上就是 (1+x)^\alpha 的幂级数展开:

证明

经典的二项式定理，就是牛顿二项式，也就是广义二项式定理的特殊情况。牛顿猜测出这样的展开式之后并没有给出证明，后来欧拉完善了这个证明，现在根据欧拉的方法来证明一下。

构造一个函数：

f(m)=1+m x+\frac{m(m-1)}{2 !} x^{2}+\cdots

这里m是有理数，先证明f这个函数满足f(m)f(n)=f(m+n)，回忆经典二项式定理，若a，b是正整数，则

这样f(a+b)与f(a)f(b)同类项的系数一定相等，f(a+b)的第（k+1）项为

\frac{(a+b)(a+b-1) \cdots(a+b-k+1)}{k !} x^{k}

f(a)f(b)的x^k这一项的系数为

\sum_{i=0}^{k} \frac{a(a-1) \cdots(a-i+1)}{i !} \cdot \frac{b(b-1) \cdots(b-k+i+1)}{(k-i) !}

由于f(a+b)=f(a)f(b)，于是

\frac{(a+b)(a+b-1) \cdots(a+b-k+1)}{k !}=\sum_{i=0}^{k} \frac{a(a-1) \cdots(a-i+1)}{i !} \cdot \frac{b(b-1) \cdots(b-k+i+1)}{(k-i) !}

这是一个恒等式，对于任意正整数a,b成立，牛顿二项式的推广本质来说是这个恒等式对于有理数也成立，甚至对实数、复数都成立。我们在扩充数域的时候保证了运算法则的兼容，也就是不管是整数、有理数、实数、复数，它们都满足加法和乘法的交换律、结合律，满足乘法分配率，于是既然这个恒等式在整数集成立，在有理数集必然也成立。